Ở mặt nước, một nguồn sóng đặt tại điểm \(O\) dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Sóng truyền trên mặt nước có bước sóng \(\lambda \). Chọn hệ tọa độ vuông góc \(Oxy\) (thuộc mặt nước). Hai điểm \(P\) và \(Q\) nằm trên \(Ox\), \(P\) dao động ngược pha với \(O\) còn \(Q\) dao động cùng pha với \(O\). Giữa khoảng \(OP\) có \(4\) điểm dao động ngược pha với \(O\), giữa khoảng \(OQ\) có \(8\) điểm dao động ngược pha với \(O\). Trên trục \(Oy\) có điểm \(M\) sao cho góc \(PMQ\) đạt giá trị lớn nhất. Tìm số điểm dao động ngược pha với \(O\) trên đoạn \(MQ\)?

Câu 457392:

A. \(7\).

B. \(6\).

C. \(5\).

D. \(4\).

Câu hỏi : 457392

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Độ lệch pha: \(\Delta \varphi = \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }\)

Công thức lượng giác: \(\tan \left( {a - b} \right) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị khi \(f{'_{\left( x \right)}} = 0\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\)

Đáp án : D
(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điểm \(P\) dao động ngược pha với nguồn, giữa \(OP\) có \(4\) điểm ngược pha với \(O\), ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta {\varphi _P} = \dfrac{{2\pi .OP}}{\lambda } = \left( {2k + 1} \right)\pi ;\,\,k = 4\\ \Rightarrow OP = 4,5\lambda \end{array}\)

Điểm \(P\) dao động cùng pha với nguồn, giữa \(OQ\) có \(8\) điểm ngược pha với nguồn \( \to k = 8\)

\(\Delta {\varphi _Q} = \dfrac{{2\pi .OQ}}{\lambda } = 8.2\pi  \Rightarrow OQ = 8\lambda \)

Ta có hình vẽ:

Ta có: \(\widehat {PMQ} = \widehat {OMQ} - \widehat {OMP} \Rightarrow \tan \widehat {PMQ} = \tan \left( {\widehat {OMQ} - \widehat {OMP}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \widehat {PMQ} = \dfrac{{\tan \widehat {OMQ} - \tan \widehat {OMP}}}{{1 + \tan \widehat {OMQ}.\tan \widehat {OMP}}}\\ \Rightarrow \tan \widehat {PMQ} = \dfrac{{\dfrac{{OQ}}{{OM}} - \dfrac{{OP}}{{OM}}}}{{1 + \dfrac{{OQ}}{{OM}}.\dfrac{{OP}}{{OM}}}} = \dfrac{{OM.\left( {OQ - OP} \right)}}{{O{M^2} + OQ.OP}} = \dfrac{{OM.PQ}}{{O{M^2} + OP.OQ}}\end{array}\)

Đặt \(OM = x \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{x.PQ}}{{{x^2} + OP.OQ}}\)

Xét \(f{'_{\left( x \right)}} = \dfrac{{PQ.\left( {{x^2} + OP.OQ} \right) - 2x.x.PQ}}{{{{\left( {{x^2} - OP.OQ} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - {x^2}.PQ + PQ.OP.OQ}}{{{{\left( {{x^2} - OP.OQ} \right)}^2}}}\)

Để \(f{\left( x \right)_{\max }} \Rightarrow f{'_{\left( x \right)}} = 0 \Rightarrow  - {x^2}.PQ + PQ.OP.OQ = 0\)

\( \Rightarrow x = \sqrt {OP.OQ}  = 6\lambda \)

Kẻ \(OH \bot MQ\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông \(OMQ\), ta có:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}} + \dfrac{1}{{O{Q^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {6\lambda } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {8\lambda } \right)}^2}}} \Rightarrow OH = 4,8\lambda \)

Số điểm dao động ngược pha với \(O\) trên đoạn \(MH\) thỏa mãn:

\(\begin{array}{l}OH \le \left( {2k + 1} \right)\lambda  \le OM \Rightarrow 4,8\lambda  \le \left( {2k + 1} \right)\lambda  \le 6\lambda \\ \Rightarrow 1,9 \le k \le 2,5 \Rightarrow k = 2\end{array}\)

→ trên \(MH\) có \(1\) điểm dao động ngược pha với nguồn

Số điểm dao động ngược pha với \(O\) trên đoạn \(QH\) thỏa mãn:

\(\begin{array}{l}OH \le \left( {2k + 1} \right)\lambda  \le OQ \Rightarrow 4,8\lambda  \le \left( {2k + 1} \right)\lambda  \le 8\lambda \\ \Rightarrow 1,9 \le k \le 3,5 \Rightarrow k = 1;2;3\end{array}\)

→ trên \(QH\) có \(3\) điểm dao động ngược pha với nguồn

→ Trên \(MQ\) có \(4\) điểm dao động ngược pha với nguồn

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.