Cho tứ diện \(ACFG\) có số đo các cạnh lần lượt là \(AC = AF = FC = a\sqrt 2 ,\)\(AG = a\sqrt 3 ,\) \(GF = GC = a\). Thể tích của khối tứ diện \(ACFG\) bằng

Câu 458067: Cho tứ diện \(ACFG\) có số đo các cạnh lần lượt là \(AC = AF = FC = a\sqrt 2 ,\)\(AG = a\sqrt 3 ,\) \(GF = GC = a\). Thể tích của khối tứ diện \(ACFG\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {15} {a^3}}}{3}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{{12}}\).

D. \(\dfrac{{{a^{^3}}}}{6}\).

Câu hỏi : 458067

Quảng cáo

Đáp án : D
(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(FC\)

Theo bài ra \(\Delta AFC\) đều nên \(AM \bot FC\,\,\left( 1 \right)\) và \(AM = AC.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Xét \(\Delta GFC\) có \(G{F^2} + G{C^2} = F{C^2}\,\,\left[ {{a^2} + {a^2} = {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]\) nên \(\Delta GFC\) vuông cân tại \(G\)

Suy ra \(GM \bot FC\,\,\left( 2 \right)\) và \(GM = \dfrac{{FC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(\left( {AGM} \right) \bot FC.\) Do đo \({V_{ACGF}} = \dfrac{1}{3}CF.{S_{AMG}}\)

\({S_{AMG}} = \sqrt {p\left( {p - \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)\left( {p - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\left( {p - a\sqrt 3 } \right)} \) với \(p = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} + \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \({S_{AMG}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)

Vậy \({V_{ACGF}} = \dfrac{1}{3}CF.{S_{AMG}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.