Cho \(x;\,y;\,z > 1\) thỏa \({\log _{\left( {xy + yz + xz} \right)}}\left( {5{x^2} + 16{y^2} + 27{z^2}} \right) + {\log _{144}}\sqrt {xy + yz + xz} = 2\). Giá trị của \(x + y - z\) bằng

Câu 458069: Cho \(x;\,y;\,z > 1\) thỏa \({\log _{\left( {xy + yz + xz} \right)}}\left( {5{x^2} + 16{y^2} + 27{z^2}} \right) + {\log _{144}}\sqrt {xy + yz + xz} = 2\). Giá trị của \(x + y - z\) bằng

A. \(14\).

B. \(10\).

C. \(20\).

D. \(18\).

Câu hỏi : 458069

Quảng cáo

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(5{x^2} + 16{y^2} + 27{z^2} - 12xy - 12xz - 12yz = 3{\left( {x - 2y} \right)^2} + {\left( {2y - 3z} \right)^2} + 2{\left( {x - 3z} \right)^2} \ge 0\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2y = 3z\,\,\,\left( 1 \right)\)

Suy ra \(5{x^2} + 16{y^2} + 27{z^2} \ge 12\left( {xy + yz + xz} \right)\)

\( \Rightarrow {\log _{xy + yz + xz}}\left( {5{x^2} + 16{y^2} + 27{z^2}} \right) \ge {\log _{xy + yz + xz}}\left[ {12\left( {xy + yz + xz} \right)} \right] = {\log _{xy + yz + xz}}12 + 1\)

(có \(xy + yz + xz \ge 1\) nên hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{xy + yz + xz}}t\) đồng biến)

Biểu thức đã cho:

\({\log _{xy + yz + xz}}\left( {5{x^2} + 16{y^2} + 27{z^2}} \right) + {\log _{144}}\sqrt {xy + yz + xz} \)

\( \ge {\log _{xy + yz + xz}}12 + 1 + \dfrac{1}{4}{\log _{12}}\left( {xy + yz + xz} \right)\)

\( \ge 2\sqrt {{{\log }_{xy + yz + xz}}12.\dfrac{1}{4}{{\log }_{12}}\left( {xy + yz + xz} \right)} + 1\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\({\log _{xy + yz + xz}}12 = \dfrac{1}{4}.{\log _{12}}\left( {xy + yz + xz} \right) \Leftrightarrow xy + yz + xz = {12^2}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra đẳng thức đã cho xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y = 3z\\xy + yz + xz = {12^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 6\\z = 4\end{array} \right.\)

Suy ra \(x + y + z = 14\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.