Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^x} - {e^{ - x}} + 2020x\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 458062:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^x} - {e^{ - x}} + 2020x\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\) để phương trình \(f\left[ {\left( {a - b} \right)x} \right] + f\left( {2x - 2019} \right) = 0\) vô nghiệm \(\left( {a,b \in R} \right)\).

A. \(P = 1\).

B. \(P = 2\).

C. \(P = 3\).

D. \(P = 4\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458062

Giải chi tiết

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^x} - {e^{ - x}} + 2020x\)

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

+ Ta thấy \(f\left( { - x} \right) = {e^{ - x}} - {e^x} - 2020x = - \left( {{e^x} - {e^{ - x}} + 2020x} \right) = - f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ

+ \(f'\left( x \right) = {e^x} + {e^{ - x}} + 2020 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Theo giả thiết ta có: \(f\left[ {\left( {a - b} \right)x} \right] + f\left( {2x - 2019} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)x = - 2x + 2019 \Leftrightarrow \left( {a - b + 2} \right)x = 2019\)

Phương trình đã cho vô nghiệm khi \(a - b + 2 = 0 \Leftrightarrow a - b = - 2\)

Mà \({\left( {a - b} \right)^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2\)

Vậy \({P_{\min }} = 2\) dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - b\\a - b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.