Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + x - {2^m}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương

Câu hỏi số 458071:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + x - {2^m}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f(f(x)) = x\) có nghiệm thuộc đoạn \([1;2].\)

A. \(3.\)

B. \(4.\)

C. \(0.\)

D. \(2.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458071

Giải chi tiết

Đặt \(y = f\left( x \right)\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right)\\f\left( y \right) = x\end{array} \right. \Rightarrow f\left( y \right) + y = f\left( x \right) + x\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số: \(g\left( t \right) = f\left( t \right) + t = {t^3} + 2t - {2^m} \Rightarrow g'\left( t \right) = 3{t^2} + 2 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow g\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Từ phương trình \(\left( * \right)\) ta có: \(g\left( y \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow y = x\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = x \Leftrightarrow {x^3} + x - {2^m} = x \Leftrightarrow {x^3} = {2^m}\).

Để phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = x\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thì:

\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} {x^3} \le {2^m} \le \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} {x^3}\)\( \Leftrightarrow 1 \le {2^m} \le 8 \Leftrightarrow 0 \le m \le 3\)

Vì \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.