Cho hình trụ có hay đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao bằng 2a. Gọi \(\left( \alpha

Câu hỏi số 458169:

Vận dụng

Cho hình trụ có hay đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao bằng 2a. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua trung điểm của OO’ và tạo với OO’ một góc \({30^0}\). Biết \(\left( \alpha \right)\) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài \(\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\). Tính theo a thể tích của khối trụ đã cho.

A. \(\pi {a^3}\)

B. \(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)

C. \(2\pi {a^3}\)

D. \(\pi \sqrt 2 {a^3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458169

Phương pháp giải

- Giả sử \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt phẳng chứa đường tròn (O’) theo giao tuyến là đường thẳng MN như hình vẽ, khi đó ta có \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {IMN} \right)\).

- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, định lí Pytago tính bán kính đáy của hình trụ.

- Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy R là \(V = \pi {R^2}h\).

Giải chi tiết

Giả sử \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt phẳng chứa đường tròn (O’) theo giao tuyến là đường thẳng MN như hình vẽ, khi đó ta có \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {IMN} \right)\).

Gọi H là trung điểm của MN ta có \(O'H \bot MN\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Trong \(\left( {O'HI} \right)\) kẻ \(O'K \bot IH\,\,\left( {K \in IH} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot O'H\\MN \bot O'I\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {O'HI} \right)\) \( \Rightarrow MN \bot O'K\).

\(\left\{ \begin{array}{l}O'K \bot MN\\O'K \bot IH\end{array} \right. \Leftrightarrow O'K \bot \left( {IMN} \right)\).

\( \Rightarrow KI\) là hình chiếu vuông góc của O’I lên (IMN)

\( \Rightarrow \angle \left( {OO';\left( \alpha \right)} \right) = \angle \left( {O'I;IMN} \right) = \angle \left( {O'I;KI} \right) = \angle O'KI = {30^0}\).

Theo bài ra ta có \(MN = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow HN = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\), \(OO' = 2a \Rightarrow O'I = a\).

Xét tam giác vuông O’HI có: \(O'H = O'I.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’HN có:

\(O'N = \sqrt {O'{H^2} + H{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = a = R\)

Vạy thể tích khối trụ là \(V = \pi {R^2}h = \pi .{a^2}.2a = 2\pi {a^3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.