Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Đồ thị hàm số \(y = 3f\left( {\sin

Câu hỏi số 458182:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số \(y = 3f\left( {\sin x + \cos x} \right) + 4\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{{9\pi }}{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]\)?

A. \(4\).

B. \(5\).

C. \(3\).

D. \(8\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458182

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\), chú ý điều kiện của t.

- Sử dụng tương giao giải phương trình \(f\left( t \right) = m\).

- Vẽ đồ thị hàm số \(t = \sin x + \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{{9\pi }}{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]\). Tiếp tục sử dụng tương giao tìm các nghiệm x.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\), hàm số đã cho trở thành \(y = f\left( t \right) = 3f\left( t \right) + 4\), với \(t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(3f\left( t \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = - \dfrac{4}{3}\).

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y = - \dfrac{4}{3}\) cắt đồ thị \(y = f\left( t \right)\) tại 4 điểm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} \in \left[ { - \sqrt 2 ;0} \right]\\{t_2} \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\end{array} \right.\).

Vẽ đồ thị hàm số \(t = \sin x + \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{{9\pi }}{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{{9\pi }}{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]\) ta thấy: Đường thẳng \(y = {t_1}\) cắt đồ thị hàm số \(t = \sin x + \cos x\) tại 2 điểm phân biệt, đường thẳng \(y = {t_2}\) cắt đồ thị hàm số \(t = \sin x + \cos x\) tại 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt thỏa mãn.

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.