Cho \(\Delta ABC\) vuông ở \(A\), đường cao \(AH\). a) Chứng minh \(\Delta AHB \sim \Delta CAB\) và \(AH.CB =
Cho \(\Delta ABC\) vuông ở \(A\), đường cao \(AH\).
a) Chứng minh \(\Delta AHB \sim \Delta CAB\) và \(AH.CB = AB.AC\).
b) Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(AB,\,\,AC\). Tứ giác \(DHEA\) là hình gì? Vì sao?
c) Cho \(AB = 9cm,\,\,AC = 12cm\). Tính \(DE\)?
d) Chứng minh rằng \(A{H^2} = DA\,.\,DB + EA\,.\,EC\)
Quảng cáo
a) Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất (góc-góc).
b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).
c) Áp dụng tính chất của hình chữ nhật (hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau).
Từ câu a) ta tìm được \(AH\) và từ đó suy ra \(DE\).
d) Chứng minh: \(D{H^2} = DB.DA\), \(E{H^2} = EC.EA\).
Sau đó, áp dụng tính chất hình chữ nhật, định lý Py-ta-go để suy ra điều cần chứng minh.
a) Chứng minh \(\Delta AHB \sim \Delta CAB\) và \(AH.CB = AB.AC\).
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) ta có:
\(\angle AHB = \angle CAB\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\angle C\) chung
\( \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta CAB\) (góc - góc)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CA}} = \dfrac{{AB}}{{CB}}\) (Tỷ số cặp cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow AH.BC = AB.AC\) (đpcm).
b) Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(AB,\,\,AC\). Tứ giác \(DHEA\) là hình gì? Vì sao?
Theo đề bài, ta có:
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow \angle BAC = {90^0}\) hay \(\angle DAE = {90^0}\)
\(HD \bot AB\) tại \(D\)\( \Rightarrow \angle HDA = {90^0}\)
\(HE \bot AC\) tại \(E\)\( \Rightarrow \angle HEA = {90^0}\)
Xét tứ giác \(DHEA\) có \(\angle DAE = \angle HDA = \angle HEA = {90^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(DHEA\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)
c) Cho \(AB = 9cm,\,\,AC = 12cm\). Tính \(DE\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
\( \Rightarrow B{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225\)
\( \Rightarrow BC = 15\left( {cm} \right)\)
Theo câu \(a)\) ta có:
\(\begin{array}{l}AH.BC = AB.AC\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{9.12}}{{15}} = 7,2\left( {cm} \right)\end{array}\)
Vì \(DHEA\) là hình chữ nhật nên \(DE = AH\) (tính chất của hình chữ nhật).
Mà \(AH = 7,2cm\) nên \(DE = AH = 7,2cm\).
d) Chứng minh rằng \(A{H^2} = DA\,.\,DB + EA\,.\,EC\).
Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta HDA\) có:
\(\angle BDH = \angle HDA\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\angle BHD = \angle HAD\) (cùng phụ với \(\angle DHA\))
\( \Rightarrow \Delta BDH \sim \Delta HDA\) (góc-góc)
\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{HD}} = \dfrac{{DH}}{{DA}}\) \( \Rightarrow D{H^2} = DB.DA\)
Xét \(\Delta CEH\) và \(\Delta HEA\) có:
\(\angle CEH = \angle HEA\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\angle CHE = \angle HAE\) (cùng phụ với \(\angle EHA\))
\( \Rightarrow \Delta CEH \sim \Delta HEA\) (góc-góc)
\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{HE}} = \dfrac{{EH}}{{EA}}\)\( \Rightarrow E{H^2} = EC.EA\)
Vì \(DHEA\) là hình chữ nhật nên \(EH = AD\)(tính chất của hình chữ nhật).
\( \Rightarrow A{D^2} = E{H^2} = EC.EA\)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}D{H^2} = DB.DA\\A{D^2} = EC.EA\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow D{H^2} + A{D^2} = \)\(BD.AD + EC.EA\) \(\left( 1 \right)\)
Mà \(\Delta ADH\) vuông tại \(D\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có: \(A{H^2} = D{H^2} + AD{}^2\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \)\(A{H^2} = EC.EA + BD.AD\)( đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
