Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại B, C; AB = 3a, BC = CD = a, SA vuông góc với mặt

Câu hỏi số 458188:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại B, C; AB = 3a, BC = CD = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng \({30^0}\). Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho \(AM = \dfrac{2}{3}AB\). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM.

A. \(\dfrac{{3a\sqrt {370} }}{{37}}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {370} }}{{37}}\)

C. \(\dfrac{{3a\sqrt {37} }}{{13}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {37} }}{{13}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458188

Phương pháp giải

- Chứng minh \(d\left( {SB;DM} \right) = d\left( {DM;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\).

- Đổi \(d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).

- Dựng khoảng cách: Dựng \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\).

- Sử dụng định lí: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Sử dụng định lí Pytago, tỉ số lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Vì \(AM = \dfrac{2}{3}AB = 2a \Rightarrow BM = a = CD\).

\( \Rightarrow BCDM\) là hình vuông cạnh a, do đó \(DM//BC\).

Khi đó ta có \(DM//\left( {SBC} \right) \supset SB\) nên \(d\left( {SB;DM} \right) = d\left( {DM;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Ta có \(AM \cap \left( {SBC} \right) = B\) nên \(\dfrac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MB}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\end{array}\)

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {30^0}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + {a^2}} = a\sqrt {10} \).

Xét tam giác vuông \(SAC\) có \(SA = AC.\tan {30^0} = a\sqrt {10} .\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{3}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB có: \(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {30} }}{3}.3a}}{{\sqrt {\dfrac{{10{a^2}}}{3} + 9{a^2}} }} = \dfrac{{3a\sqrt {370} }}{{37}}\).

Vậy \(d\left( {SB;DM} \right) = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{{a\sqrt {370} }}{{37}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.