Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{1 - x}}\) và điểm \(I\left( {1; - 1} \right)\). Tìm tất cả các điểm M

Câu hỏi số 460085:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{1 - x}}\) và điểm \(I\left( {1; - 1} \right)\). Tìm tất cả các điểm M nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với IM.

A. \(M\left( {1 + \sqrt 2 ; - 1 - \sqrt 2 } \right)\) và \(M\left( {1 - \sqrt 2 ; - 1 + \sqrt 2 } \right)\)

B. \(M\left( { - 1;0} \right)\) và \(M\left( {3; - 2} \right)\)

C. \(M\left( {\sqrt 2 ; - 3 - 2\sqrt 2 } \right)\) và \(M\left( { - \sqrt 2 ;2\sqrt 2 - 3} \right)\)

D. \(M\left( {2; - 3} \right)\) và \(M\left( {0;1} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460085

Phương pháp giải

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

- Đường thẳng \(y = ax + b\) vuông góc với vecto \(\overrightarrow {IM} \left( {u;v} \right)\) khi và chỉ khi vtcp của đường thẳng \(y = ax + b\) vuông góc với vecto \(\overrightarrow {IM} \left( {u;v} \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Gọi \(M\left( {{x_0};\dfrac{{{x_0} + 1}}{{1 - {x_0}}}} \right)\,\,\left( {{x_0} \ne 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{1 - x}}\).

Ta có \(y = \dfrac{{x + 1}}{{1 - x}} \Rightarrow y' = \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\) nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {{x_0};\dfrac{{{x_0} + 1}}{{1 - {x_0}}}} \right)\) có hệ số góc là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{2}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến tại M là: \(y = \dfrac{2}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 1}}{{1 - {x_0}}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}x - y - \dfrac{{2{x_0}}}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 1}}{{1 - {x_0}}} = 0\), có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {1;\dfrac{2}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \left( {{x_0} - 1;\dfrac{{{x_0} + 1}}{{1 - {x_0}}} + 1} \right) = \left( {{x_0} - 1;\dfrac{2}{{1 - {x_0}}}} \right)\).

Vì tiếp tuyến tại M vuông góc với IM nên \(\overrightarrow u .\overrightarrow {IM} = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 1} \right) + \dfrac{4}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^3}}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^3}}} = 1 - {x_0} \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_0}} \right)^4} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - {x_0} = \sqrt 2 \\1 - {x_0} = - \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 2 \\{x_0} = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(M\left( {1 + \sqrt 2 ; - 1 - \sqrt 2 } \right)\) và \(M\left( {1 - \sqrt 2 ; - 1 + \sqrt 2 } \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.