Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {1;2} \right]\), thỏa mãn

Câu hỏi số 460132:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {1;2} \right]\), thỏa mãn \(f\left( x \right) = x.f'\left( x \right) - {x^2}\). Biết \(f\left( 1 \right) = 3\), tính \(f\left( 2 \right)\).

A. \(16\)

B. \(2\)

C. \(8\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460132

Phương pháp giải

- Biến đổi, đưa về công thức đạo hàm của một thương.

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế tìm hàm \(f\left( x \right)\).

- Sử dụng giả thiết tìm hằng số C.

- Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) hoàn chỉnh và tính \(f\left( 2 \right)\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,f\left( x \right) = x.f'\left( x \right) - {x^2}\\ \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) - f\left( x \right) = {x^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x.f'\left( x \right) - x'.f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)' = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \int {dx} = x + C\end{array}\)

Lại có \(f\left( 1 \right) = 3\) \( \Rightarrow \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{1} = 1 + C \Leftrightarrow 3 = 1 + C \Leftrightarrow C = 2\).

Vậy \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = x + 2 \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 2x \Rightarrow f\left( 2 \right) = 8\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.