Cho một hình trụ thay đổi nội tiếp trong một hình nón cố định cho trước (tham khảo hình vẽ

Câu hỏi số 460140:

Vận dụng

Cho một hình trụ thay đổi nội tiếp trong một hình nón cố định cho trước (tham khảo hình vẽ bên). Gọi thể tích các khối nón và khối trụ tương ứng là V và V’. Biết rằng V’ là giá trị lớn nhất đạt được, khi đó tỉ số \(\dfrac{{V'}}{V}\) bằng:

A. \(\dfrac{4}{9}\)

B. \(\dfrac{4}{{27}}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(\dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460140

Phương pháp giải

- Đặt chiều cao khối trụ là x \(\left( {0 < x < h} \right)\).

- Áp dụng định lí Ta-lét, tính bán kính đáy hình trụ theo x.

- Tính thể tích khối trụ, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của V’, từ đó suy ra x theo h.

- Lập và tính tỉ số \(\dfrac{{V'}}{V}\).

Giải chi tiết

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Gọi \(h,\,r\) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

Đặt \(IO = MQ = NP = x\) \(\left( {0 < x < h} \right)\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{MQ}}{{SO}} = \dfrac{{AQ}}{{AS}} = 1 - \dfrac{{SQ}}{{SA}} = 1 - \dfrac{{QI}}{{OA}}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{h} = 1 - \dfrac{{IQ}}{r}\\ \Rightarrow IQ = \left( {1 - \dfrac{x}{h}} \right)r\end{array}\)

Khi đó thể tích khối nón là \(V' = \pi .I{Q^2}.QM = \pi .{r^2}{\left( {1 - \dfrac{x}{h}} \right)^2}.x = \dfrac{{\pi {r^2}}}{{{h^2}}}.x{\left( {x - h} \right)^2}\).

Để \(V’\) đạt giá trị lớn nhất thì \(x{\left( {x - h} \right)^2}\) phải đạt giá trị lớn nhất.

Đặt \(f\left( x \right) = x{\left( {x - h} \right)^2} = x\left( {{x^2} - 2hx + {h^2}} \right) = {x^3} - 2h{x^2} + {h^2}x\), với \(0 < x < h\) ta có:

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4hx + {h^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = h\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{1}{3}h\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow V{'_{\max }} = \dfrac{{\pi {r^2}}}{{{h^2}}}.\dfrac{1}{3}h{\left( {\dfrac{1}{3}h - h} \right)^2} = \dfrac{4}{{27}}\pi {r^2}h\).

Vậy khi đó \(\dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{{\dfrac{4}{{27}}\pi {r^2}h}}{{\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h}} = \dfrac{4}{9}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.