Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường

Câu hỏi số 460886:

Vận dụng

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\) có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều \(ABCD\).

A. \({S_{xq}} = 8\sqrt 3 \pi \)

B. \({S_{xq}} = 8\sqrt 2 \pi \)

C. \({S_{xq}} = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{3}\pi \)

D. \({S_{xq}} = \dfrac{{16\sqrt 2 }}{3}\pi \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460886

Phương pháp giải

- Tính bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta BCD\), sử dụng công thức \(r = \dfrac{S}{p}\) với \(S,\,\,p\) lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác. Đó cũng chính là bán kính đường tròn đáy của hình trụ.

- Xác định chiều cao của chóp \(A.BCD\), sử dụng định lí Pytago tính chiều cao. Đây cũng chính là chiều cao của hình trụ.

- Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\) là \({S_{xq}} = 2\pi rh\).

Giải chi tiết

Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(4\) có diện tích \(S = \dfrac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \) và nửa chu vi \(p = \dfrac{{4.3}}{2} = 6\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\) là \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn đáy hình trụ là \(r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Gọi \(O\) là tâm tam giác đều \(BCD \Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\).

Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(4\) nên \(BM = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \) \( \Rightarrow BO = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3}.2\sqrt 3 = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABO\) có: \(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{3}\).

\( \Rightarrow \) Chiều cao của khối trụ là \(h = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ cần tìm là \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{4\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 }}{3}\pi \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.