Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2}

Câu hỏi số 460889:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị?

A. \(18\)

B. \(16\)

C. \(17\)

D. \(15\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460889

Phương pháp giải

- Từ \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\) xác định các nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).

- Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\), tính \(g'\left( x \right)\).

- Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Tìm điều kiện để phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,2} \right)\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x - 8} \right)f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 8 = 0\\f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{x^2} - 8x + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 8x + m = 2\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta không xét \({x^2} - 8x + m = 1\) vì \(x = 1\) là nghiệm bội chẵn của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) nên qua các nghiệm của phương trình \({x^2} - 8x + m = 1\) thì \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu.

Để hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị thì phương trình (1) và (2) đồng thời có 2 nghiệm phân biệt khác 4.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}' = 16 - m > 0\\{4^2} - 8.4 + m \ne 0\\{\Delta _2}' = 16 - m + 2 > 0\\{4^2} - 8.4 + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 16\\m < 18\\m \ne 16\\m \ne 18\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 16\).

Kết hợp điều kiện \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;...;15} \right\}\).

Vậy có 15 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.