Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Lấy \(N,\,\,M\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Tính
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Lấy \(N,\,\,M\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Tính khoảng cách \(d\) giữa \(CN\) và \(DM\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Gọi \(P\) là trung điểm của \(AN\). Chứng minh \(d\left( {CN;DM} \right) = d\left( {C;\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right)\).
- Sử dụng công thức \(d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{APMD}}}}{{{S_{DMP}}}}\).
- Sử dụng tỉ số thể tích để tính \({V_{APMD}}\). Công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
- Sử dụng công thức \({S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - DP} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác.
Gọi \(P\) là trung điểm của \(AN\). Vì \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ACN\) nên \(MP//CN\).
\( \Rightarrow CN//\left( {DMP} \right) \supset DM\) \( \Rightarrow d\left( {CN;DM} \right) = d\left( {CN;\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {DMP} \right)} \right)\).
Mà \(CA \cap \left( {DMP} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {DMP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right)}} = \dfrac{{CM}}{{AM}} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right)\).
Vì \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh a nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{APMD}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{AP}}{{AB}}.\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}\) \( \Rightarrow {V_{APMD}} = \dfrac{1}{8}{V_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}\).
Vì \(\Delta ACD,\,\,\Delta ABC\) là các tam giác đều cạnh \(a\) nên \(DM = CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow MP = \dfrac{1}{2}CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ADP\) có:
\(\begin{array}{l}D{P^2} = A{D^2} + A{P^2} - 2AD.AP.\cos \angle DAP\\D{P^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{a}{4}} \right)^2} - 2a.\dfrac{a}{4}.cos{60^0} = \dfrac{{13{a^2}}}{{16}}\\ \Rightarrow DP = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}\end{array}\)
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(DMP\) ta có \(p = \dfrac{{DM + MP + DP}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}}}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - DP} \right)} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}\).
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{APMD}}}}{{{S_{DMP}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}}} = \dfrac{{a\sqrt {70} }}{{35}}\).
Vậy \(d\left( {CN;DM} \right) = \dfrac{{a\sqrt {70} }}{{35}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
