Giả sử \(a,\,\,b\) là các số thực sao cho \({x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\) đúng vơi mọi

Câu hỏi số 460898:

Vận dụng

Giả sử \(a,\,\,b\) là các số thực sao cho \({x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\) đúng vơi mọi số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(\log \left( {x + y} \right) = z\) và \(\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1\). Giá trị của \(a + b\) bằng:

A. \(\dfrac{{31}}{2}\)

B. \(\dfrac{{29}}{2}\)

C. \( - \dfrac{{31}}{2}\)

D. \( - \dfrac{{25}}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460898

Phương pháp giải

- Từ giả thiết tìm \(x + y,\,\,{x^2} + {y^2}\) theo \(z\).

- Tìm \(xy = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]\).

- Sử dụng hằng đẳng thức \({x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)\), thay VP theo \(z\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính \(a + b\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\log \left( {x + y} \right) = z\\\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {10^z}\\{x^2} + {y^2} = {10^{z + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {10^{2z}}\\{x^2} + {y^2} = {10^{z + 1}}\end{array} \right.\)

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {10^{2z}} - {10^{z + 1}}\\ \Leftrightarrow 2xy = {10^{2z}} - {10^{z + 1}} \Leftrightarrow xy = \dfrac{{{{10}^{2z}} - {{10}^{z + 1}}}}{2}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {10^z}\left( {{{10}^{z + 1}} - \dfrac{{{{10}^{2z}} - {{10}^{z + 1}}}}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {10^z}\left( {\dfrac{3}{2}{{10}^{z + 1}} - \dfrac{1}{2}{{10}^{2z}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{3}{2}{10^{2z + 1}} - \dfrac{1}{2}{10^{3z}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{2}{10^{3z}} + {15.10^{2z}}\\ \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2};\,\,b = 15\end{array}\)

Vậy \(a + b = - \dfrac{1}{2} + 15 = \dfrac{{29}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.