Cho một mô hình tứ diện đều \(ABCD\) cạnh 1 vòng tròn thép có bán kính \(R\). Hỏi có thể cho

Câu hỏi số 460899:

Vận dụng cao

Cho một mô hình tứ diện đều \(ABCD\) cạnh 1 vòng tròn thép có bán kính \(R\). Hỏi có thể cho một hình tứ diện trên đi qua vòng tròn đó (bỏ qua bề dày của vòng tròn) thì bán kính \(R\) nhỏ nhất gần với số nào trong các số sau?

A. \(0,461\)

B. \(0,441\)

C. \(0,468\)

D. \(0,448\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460899

Giải chi tiết

Gọi tứ diện đều là \(ABCD\).

+ Nếu bán kính \(R\) của vòng tròn thép bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp một mặt của tứ diện đều thì rõ ràng khối tứ diện có thể đi qua được vòng tròn thép.

+ Ta xét các TH bán kính \(R\) của vòng tròn thép nhỏ hơn bán kính một mặt của khối tứ diện.

Đưa đỉnh \(C\) qua vòng tròn thép và đặt đỉnh A lên vòng thép, giả sử vòng thép tiếp xúc với hai cạnh \(BC,\,\,CD\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).

Dễ thấy ta luôn đưa được mô hình tứ diện qua vòng tròn bằng cách đưa đỉnh A đi qua trước rồi đổi sang các đỉnh B hoặc D.

Do tính đối xứng của hình ta chỉ cần xét với tam giác AMN cân tại A.

Đặt \(CM = x\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\) ta có \(MN = CM = CN = x\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(ACM\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = C{M^2} + A{C^2} - 2CM.AC.\cos {60^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} + 1 - 2x.\dfrac{1}{2} = {x^2} - x + 1\\ \Rightarrow AM = \sqrt {{x^2} - x + 1} = AN\end{array}\)

Tiếp tục áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(AMN\) ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle MAN = \dfrac{{A{M^2} + A{N^2} - M{N^2}}}{{2AM.AN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {x^2}}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ \Rightarrow \sin \angle MAN = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {3{x^2} - 4x + 4} \right)} }}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\end{array}\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là:

\(R = \dfrac{{MN}}{{2\sin \angle MAN}} = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }}\) với \(x \in \left( {0;1} \right)\) ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} f\left( x \right) \approx 0,4478\) (sử dụng MTCT).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.