Cho phương trình \(\sin 2x - \cos 2x + \left| {\sin x + \cos x} \right| - \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} - m = 0\). Có

Câu hỏi số 460900:

Vận dụng

Cho phương trình \(\sin 2x - \cos 2x + \left| {\sin x + \cos x} \right| - \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} - m = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm thực?

A. \(9\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460900

Phương pháp giải

- Xét hàm đặc trưng.

- Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\sin 2x - \cos 2x + \left| {\sin x + \cos x} \right| - \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} - m = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x + 1 + \left| {\sin x + \cos x} \right| = \cos 2x + 1 + \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} + m\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + \left| {\sin x + \cos x} \right| = 2{\cos ^2}x + m + \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} \\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} + \left| {\sin x + \cos x} \right| = 2{\cos ^2}x + m + \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} \,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {t^2} + t\) với \(t \ge 0\) ta có \(f'\left( t \right) = 2t + 1 > 0\,\,\forall t \ge 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

Từ \(\left( * \right) \Rightarrow \left| {\sin x + \cos x} \right| = \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} \).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = 2{\cos ^2}x + m\\ \Leftrightarrow \sin 2x + 1 - 2{\cos ^2}x = m\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = m\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Phương trình (**) có nghiệm khi và chỉ khi \({1^2} + {1^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 \).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.