Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AC = a\). Biết hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC\). Mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'CC'\). Tính khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\).

Câu 463487: Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AC = a\). Biết hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC\). Mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'CC'\). Tính khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\).

A. \(\dfrac{{3\sqrt 3 a}}{4}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\)

Câu hỏi : 463487

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Đổi \(d(G;\left( {ABB'A'} \right)\) sang \(d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\).

- Xác định \(d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\), sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(HM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(HM//AC\).

Mà \(AC \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow HM \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HM\\AB \bot B'H\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {B'HM} \right) \Rightarrow AB \bot B'M\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\B'M \subset \left( {ABB'A'} \right),\,\,B'M \bot AB\,\,\left( {cmt} \right)\\HM \subset \left( {ABC} \right),\,\,HM \bot AB\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {B'M;HM} \right) = \angle B'MH = {60^0}\).

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(H\) trên \(B'M\). Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HI \subset \left( {B'MH} \right)\\AB \bot \left( {B'MH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot AB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot AB\\HI \bot B'M\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = HI\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'CC'\) nên \(\dfrac{{GB}}{{C'B}} = \dfrac{2}{3}\).

Ta có: \(GC' \cap \left( {ABB'A'} \right) = B\) nên \(\dfrac{{d\left( {G;\left( {ABB'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right)}} = \dfrac{{GB}}{{C'B}} = \dfrac{2}{3}\).

\( \Rightarrow d(G;\left( {ABB'A'} \right) = \dfrac{2}{3}d(C';\left( {ABB'A'} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\) (do \(CC'//\left( {ABB'A'} \right)\)).

Lại có \(CH \cap \left( {ABB'A'} \right) = B\) nên \(\dfrac{{d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right)}} = \dfrac{{CB}}{{HB}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\).

\( \Rightarrow d(G;\left( {ABB'A'} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}HI\).

Xét tam giác vuông \(B'HM\), ta có \(MH = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{a}{2};\,B'H = HM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(B'MH\) ta có: \(HI = \dfrac{{HM.B'H}}{{\sqrt {H{M^2} + B'{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \(d(G;\left( {ABB'A'} \right) = \dfrac{4}{3}HI = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.