Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AC = a\). Biết hình
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AC = a\). Biết hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC\). Mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'CC'\). Tính khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Đổi \(d(G;\left( {ABB'A'} \right)\) sang \(d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\).
- Xác định \(d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\), sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(HM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(HM//AC\).
Mà \(AC \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow HM \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HM\\AB \bot B'H\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {B'HM} \right) \Rightarrow AB \bot B'M\).
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\B'M \subset \left( {ABB'A'} \right),\,\,B'M \bot AB\,\,\left( {cmt} \right)\\HM \subset \left( {ABC} \right),\,\,HM \bot AB\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {B'M;HM} \right) = \angle B'MH = {60^0}\).
Gọi \(I\) là hình chiếu của \(H\) trên \(B'M\). Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HI \subset \left( {B'MH} \right)\\AB \bot \left( {B'MH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot AB\).
\(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot AB\\HI \bot B'M\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = HI\).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'CC'\) nên \(\dfrac{{GB}}{{C'B}} = \dfrac{2}{3}\).
Ta có: \(GC' \cap \left( {ABB'A'} \right) = B\) nên \(\dfrac{{d\left( {G;\left( {ABB'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right)}} = \dfrac{{GB}}{{C'B}} = \dfrac{2}{3}\).
\( \Rightarrow d(G;\left( {ABB'A'} \right) = \dfrac{2}{3}d(C';\left( {ABB'A'} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\) (do \(CC'//\left( {ABB'A'} \right)\)).
Lại có \(CH \cap \left( {ABB'A'} \right) = B\) nên \(\dfrac{{d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right)}} = \dfrac{{CB}}{{HB}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\).
\( \Rightarrow d(G;\left( {ABB'A'} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}HI\).
Xét tam giác vuông \(B'HM\), ta có \(MH = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{a}{2};\,B'H = HM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(B'MH\) ta có: \(HI = \dfrac{{HM.B'H}}{{\sqrt {H{M^2} + B'{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \(d(G;\left( {ABB'A'} \right) = \dfrac{4}{3}HI = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
