Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có diện tích đáy bằng \(12\) và chiều cao bằng \(6\). Gọi

Câu hỏi số 463495:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có diện tích đáy bằng \(12\) và chiều cao bằng \(6\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(CB,\,\,CA\) và \(P,\,\,Q,\,\,R\) lần lượt là tâm các hình bình hành \(ABB'A'\), \(BCC'B'\), \(CAA'C'\). Thể tích của khối đa diện \(PQRABMN\) bằng:

A. \(42\)

B. \(14\)

C. \(18\)

D. \(21\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463495

Phương pháp giải

- Gọi \(P',\,\,Q',\,\,R'\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {PQR} \right)\) với các cạnh \(CC',\,\,AA',\,\,BB'\). Chứng minh \(P',\,\,Q',\,\,R'\) tương ứng là trung điểm của các cạnh \(CC',\,\,AA',\,\,BB'\), đồng thời \(P,\,\,Q,\,\,R\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(Q'R',\,\,R'P',\,\,P'Q'\).

- Đặt \(V = {V_{ABC.Q'R'P'}}\), tính \({V_{B.R'PQ}}\), \({V_{A.Q'PR}}\), \({V_{CMN.P'QR}}\) theo \(V\).

- Tính \({V_{PQRABMN}} = V - {V_{B.R'PQ}} - {V_{A.Q'PR}} - {V_{CMN.P'QR}}\) theo \(V\).

- Tính \(V\) và suy ra \({V_{PQRABMN}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(P',\,\,Q',\,\,R'\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {PQR} \right)\) với các cạnh \(CC',\,\,AA',\,\,BB'\).

Dễ dàng chứng minh được \(P',\,\,Q',\,\,R'\) tương ứng là trung điểm của các cạnh \(CC',\,\,AA',\,\,BB'\), đồng thời \(P,\,\,Q,\,\,R\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(Q'R',\,\,R'P',\,\,P'Q'\).

Đặt \(V = {V_{ABC.Q'R'P'}}\).

Ta có: \({S_{R'PQ}} = \dfrac{1}{4}{S_{R'Q'P'}}\) nên \({V_{B.R'PQ}} = \dfrac{1}{4}{V_{B.R'Q'P'}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}V = \dfrac{1}{{12}}V\).

Tương tự ta có: \({V_{A.Q'PR}} = \dfrac{1}{{12}}V\).

Ta có: \({S_{MNC}} = {S_{QRP'}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\) nên \({V_{CMN.P'QR}} = \dfrac{V}{4}\).

Vậy \(V{V_{PQRABMN}} = V - {V_{B.R'PQ}} - {V_{A.Q'PR}} - {V_{CMN.P'QR}} = V - 2.\dfrac{V}{{12}} - \dfrac{V}{4} = \dfrac{{7V}}{{12}} = \dfrac{7}{2}.\dfrac{1}{2}.12.6 = 21\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.