Xác định số thực \(k\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^{2016}} + x -

Câu hỏi số 463610:

Vận dụng

Xác định số thực \(k\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\,\,khi\,\,x \ne 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\).

A. \(k = 1\)

B. \(k = \dfrac{{2017.\sqrt {2018} }}{2}\)

C. \(k = \dfrac{{2016}}{{2017}}\sqrt {2019} \)

D. \(k = 2\sqrt {2019} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463610

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{x - 1}}.\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2018x + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2018x + 1 - x - 2018}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2018x + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017x - 2017}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {2018x + 1} + \sqrt {x + 2018} }}{{2017}} = \dfrac{{2\sqrt {2019} }}{{2017}}\\\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2016}} - 1 + x - 1}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 2} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 2} \right) = 2017\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 2017.\dfrac{{2\sqrt {2019} }}{{2017}} = 2\sqrt {2019} \).

Mà \(f\left( 1 \right) = k\).

Vậy để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow k = 2\sqrt {2019} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.