Xác định số thực \(k\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\,\,khi\,\,x \ne 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\).

Câu 463610: Xác định số thực \(k\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\,\,khi\,\,x \ne 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\).

A. \(k = 1\)

B. \(k = \dfrac{{2017.\sqrt {2018} }}{2}\)

C. \(k = \dfrac{{2016}}{{2017}}\sqrt {2019} \)

D. \(k = 2\sqrt {2019} \)

Câu hỏi : 463610

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Đáp án : D
(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{x - 1}}.\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}} \right)\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2018x + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2018x + 1 - x - 2018}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2018x + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017x - 2017}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {2018x + 1} + \sqrt {x + 2018} }}{{2017}} = \dfrac{{2\sqrt {2019} }}{{2017}}\\\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2016}} - 1 + x - 1}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 2} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 2} \right) = 2017\end{array}\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 2017.\dfrac{{2\sqrt {2019} }}{{2017}} = 2\sqrt {2019} \).
Mà \(f\left( 1 \right) = k\).
Vậy để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow k = 2\sqrt {2019} \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.