Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \), cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \({60^0}\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

Câu 464282: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \), cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \({60^0}\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 a}}{3}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\)

C. \(\sqrt 3 a\)

D. \(\dfrac{{2a}}{3}\)

Câu hỏi : 464282

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa cạnh bên và hình chiếu của cạnh bên lên mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao \(h\) của hình chóp.

- Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp đều là \(R = \dfrac{{S{A^2}}}{{2h}}\).

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;OC} \right) = \angle SCO = {60^0}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(AC = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a \Rightarrow OC = a\).

Xét tam giác vuông \(SOC\) ta có: \(SO = OC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \) và \(SC = \sqrt {S{O^2} + O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} = 2a\).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp đều \(S.ABCD\) là: \(R = \dfrac{{S{D^2}}}{{2SO}} = \dfrac{{4{a^2}}}{{2a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.