Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho nửa đường tròn tâm \(O\). Parabol có đỉnh trùng với tâm \(O\) (trục

Câu hỏi số 464283:

Vận dụng

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho nửa đường tròn tâm \(O\). Parabol có đỉnh trùng với tâm \(O\) (trục đối xứng là trục tung) cắt nửa đường tròn tại hai điểm \(A,B\) như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn và Parabol (phần gạch sọc).

A. \(S = \dfrac{{20}}{3} - 2\pi \)

B. \(S = \dfrac{4}{3} - 2\pi \)

C. \(S = \dfrac{{20}}{3} + 2\pi \)

D. \(S = \dfrac{4}{3} + 2\pi \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464283

Phương pháp giải

- Xác định phương trình parabol và phương trình đường tròn.

- Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_{}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Vì parabol đi qua gốc tọa độ và nhận \(Oy\) làn trục đối xứng nên phương trình parabol có dạng \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2}\).

Lại có \(A\left( { - 2;2} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 2 = a.{\left( { - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = \dfrac{1}{2}{x^2}\).

Đường tròn tâm \(\left( O \right)\), bán kính \(R = OA = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \) có phương trình là \({x^2} + {y^2} = 8\), do đó nửa đường tròn phía trên trục \(Ox\) có phương trình là \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \).

Dựa vào hình vẽ ta có \(\dfrac{1}{2}{x^2} = \sqrt {8 - {x^2}} \Leftrightarrow x = \pm 2\).

Do đó, diện tích cần tìm là: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right)dx} = \dfrac{4}{3} + 2\pi \) (sử dụng MTCT).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.