Biết \({x_1},\,\,{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({\log

Câu hỏi số 464285:

Vận dụng

Biết \({x_1},\,\,{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _4}\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}}} \right) + {x^2} - x = 0\) và \(2{x_1} + 3{x_2} = \dfrac{1}{2}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với \(a,\,\,b\) là hai số nguyên dương. Tính \(a + b\).

A. \(a + b = 4\)

B. \(a + b = 13\)

C. \(a + b = 8\)

D. \(a + b = 11\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464285

Phương pháp giải

- Xét hàm đặc trưng, từ đó giải phương trình tìm \(x\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}} > 0 \Leftrightarrow 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - \dfrac{3}{2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _4}\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}}} \right) + {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}}} \right) + {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}}} \right) + 2{x^2} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) + 1 - {\log _2}\left( {2x + 3} \right) + \left( {2{x^2} + 2} \right) - \left( {2x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{x^2} + 2} \right) + \left( {2{x^2} + 2} \right) = {\log _2}\left( {2x + 3} \right) + \left( {2x + 3} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(y = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(y' = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó từ (*) ta có \(2{x^2} + 2 = 2x + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\x = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow 2{x_1} + 3{x_2} = 2.\dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + 3.\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {5 + \sqrt 3 } \right)\).

\( \Rightarrow a = 5,\,\,b = 3\). Vậy \(a + b = 5 + 3 = 8\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.