Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.

Câu hỏi số 46440:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.

A. V_S.ABC = $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$ , d(BC, SA) = $\frac{a\sqrt{42}}{8}$

B. V_S.ABC = $\frac{a^3\sqrt{7}}{12}$ , d(BC, SA) = $\frac{a\sqrt{2}}{8}$

C. V_S.ABC = $\frac{a^3\sqrt{7}}{12}$ , d(BC, SA) = $\frac{a\sqrt{42}}{7}$

D. V_S.ABC = $\frac{a^3\sqrt{7}}{12}$ , d(BC, SA) = $\frac{a\sqrt{42}}{8}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:46440

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm AB, ta có MH = MB - HB = $\frac{a}{2}$ - $\frac{a}{3}$ = $\frac{a}{6}$

Theo giả thiết: SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ HC => tam giác SHC vuông tại H và

( $\widehat{SC, (ABC)}$ ) = $\widehat{SCH}$ = 60⁰.

Trong tam giác CHM ta có

CH² = CM² + MH² = $\left ( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2$ + $\left ( \frac{a}{6} \right )^2$ = $\frac{28a^2}{36}$ (Định lý Pi-ta-go)

=> CH = $\frac{a\sqrt{7}}{3}$ , (CM là đường cao trong tam giác đều ABC)

Trong tam giác vuông SHC ta có

SC = 2HC = 2 $\frac{a\sqrt{7}}{3}$ (Cạnh đối diện với góc 30⁰) và SH = CH.tan60⁰. = $\frac{a\sqrt{21}}{3}$

Diện tích tam giác đều ABC là S_ABC = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

V_S.ABC = $\frac{1}{3}$ .SH.S_ABC = $\frac{1}{3}$ . $\frac{a\sqrt{21}}{3}$ . $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{a^3\sqrt{7}}{12}$

Xét trong mặt phẳng (ABC) kẻ d qua A và // BC. Nên BC // (SA; d)

d(BC, SA) = d[B; (SA, d)]

Dựng hình thoi ABCD. Dựng HK sao cho HK ⊥ AD, HI ⊥ SK (K ∈ AD, I ∈ SK)

Ta có SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AD, mà KH ⊥ AD nên AD ⊥ (SHK)

=> (SAD) ⊥ (SHK) và HI ⊥ SK nên HI ⊥ (SAD)

=> HI là khoảng cách từ H đến (SAD)

=> KH = AH.sin $\widehat{KAH}$ = $\frac{2a}{3}$ . $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHK

=> $\frac{1}{HI^2}$ = $\frac{1}{HS^2}$ + $\frac{1}{HK^2}$ = $\frac{1}{\left ( \frac{a\sqrt{21}}{3} \right )^2} + \frac{1}{\left ( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2}$

=> HI = $\frac{a\sqrt{42}}{12}$

d(BC, SA) = $\frac{3}{2}$ HI = $\frac{3}{2}$ . $\frac{a\sqrt{42}}{12}$ = $\frac{a\sqrt{42}}{8}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.