Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + -

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 46441:

Vận dụng cao

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = $3^{|x- y|}$ + $3^{|y - z|}$ + $3^{|z- x|}$ - $\sqrt{6x^2 + 6y^2 + 6z^2}$

A. minP = 3

B. minP = -3

C. minP = 1

D. minP = -1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:46441

Giải chi tiết

Dễ dàng chứng minh được 3^t ≥ 1 + t, ∀t ≥ 0, từ đó áp dụng vào bài toán ta có:

P ≥ 3 + |x - y| + |y - z| + |z - x| - $\sqrt{6x^2 + 6y^2 + 6z^2}$

Mặt khác ta có

(|x - y| + |y - z| + |z - x|)²

= (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² + |x - y|(|y - z| + |z - x|) +

|y – z|(|x – y| +|z – x|) + |z – x|(|x – y| + |y – z|)

Hơn nữa áp dụng BĐT |a| + |b| ≥ |a + b| ta có

(|x - y| + |y - z| + |z - x|)² ≥ 2[(x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ] = 6(x² + y² + z²)

Suy ra P ≥ 3 => minP = 3 <=> x = y = z = 0

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.