Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M(, ) và đường thẳng AN có phương trình 2x – y

Câu hỏi số 46443:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M( $\frac{11}{2}$ , $\frac{1}{2}$ ) và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

A. A(4; 5), A(1; -1)

B. A(4; 5), A(1; 1)

C. A(4;-5), A(1; -1)

D. A(-4; 5), A(1; -1)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:46443

Giải chi tiết

Gọi cạnh hình vuông là a tức AB = BC = CD = DA = a

Trong tam giác vuông AND ta có

AN = $\sqrt{AD^2 + DN^2}$

DN = $\frac{1}{2}$ CN = $\frac{1}{3}$ DC = $\frac{1}{3}$ a

=> AN = $\frac{a\sqrt{10}}{3}$

Trong tam giác vuông AMB có BM = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ a

AM = $\sqrt{AB^2 + BM^2}$ = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Tương tự trong tam giác vuông CMN ta tính được MN = $\frac{5a}{6}$

Theo định lí hàm số cosin trong tam giác MAN ta có

cosA = $\frac{AM^2 + AN^2 - MN^2}{2AM.AN}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ => $\widehat{MAN}$ = 45^o

Phương trình đường thẳng AM: ax + by - $\frac{11}{2}$ a - $\frac{1}{2}$ b = 0 với vecto pháp tuyến $\vec{n}$ = (a; b)

cos $\widehat{MAN}$ = $\frac{|2a - b|}{\sqrt{5(a^2 + b^2)}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ <=> 3t² – 8t – 3 = 0 (với t = $\frac{a}{b}$ )

<=> t = 3 hoặc t = - $\frac{1}{3}$

Với t = 3, => tọa độ A là nghiệm của hệ $\left \{ \begin{matrix} 2x - y - 3 = 0 & \\ 3x + y - 17 = 0 & \end{matrix}$ => A(4; 5)

Với t = - $\frac{1}{3}$ , => tọa độ A là nghiệm của hệ $\left \{ \begin{matrix} 2x - y - 3 = 0 & \\ x - 3y - 4 = 0 & \end{matrix}$ => A(1; -1)

Vậy có 2 điểm thỏa mãn A(4; 5) hoặc A(1; -1)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.