Cho \(\Delta ABC\)cân tại \(A\), tia phân giác của \(\angle BAC\) cắt cạnh \(BC\)tại \(D\). Kẻ

Câu hỏi số 465158:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\)cân tại \(A\), tia phân giác của \(\angle BAC\) cắt cạnh \(BC\)tại \(D\). Kẻ \(DH\)vuông góc với \(AB\)tại \(H\), kẻ \(DK\)vuông góc với \(AC\)tại \(K\).

a) Chứng minh: \(\Delta AHD = \Delta AKD\)

b) Tia \(KD\)cắt tia \(AB\)tại \(M\), tia \(HD\)cắt tia \(AC\)tại \(N\). Chứng minh: \(HM = KN\)

c) Chứng minh: \(AD \bot MN\)và \(BC//MN\)

d) Gọi \(I\)là giao điểm của \(AD\)và \(MN\). Qua \(I\)kẻ đường thẳng d song song với \(AM\), đường thẳng \(d\)cắt \(AN\)tại \(E\). Chứng minh: \(IE = \frac{1}{2}AM\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:465158

Phương pháp giải

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.

+ Các định lí từ vuông góc tới song song.

+ Tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung trực trong tam giác cân.

Giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông\(\Delta AHD\)và\(\Delta AKD\)có:

+ \(AD\)chung

+ \(\angle HAD = \angle KAD\) (vì\(AD\)là tia phân giác của \(\angle BAC\))

\( \Rightarrow \Delta AHD = \)\(\Delta AKD\) (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)

b) Theo a) \(\Delta AHD = \)\(\Delta AKD\)\( \Rightarrow \)\(AH = AK\)(hai cạnh tương ứng) (1)

Xét hai tam giác vuông\(\Delta AMK\)và\(\Delta ANH\)có:

+ \(\angle A\)chung

+\(AH = AK\)

+ \(\angle AKM = \angle AHN = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta AMK = \Delta ANH\)(g.c.g)

\( \Rightarrow \)\(AM = AN\) (2)

Mà \(\begin{array}{l}AM = AH + HM\\AN = AK + KN\end{array}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(HM = KN\) (đpcm)

+ Do \(AM = AN\)\( \Rightarrow \Delta AMN\)cân tại \(A\)

Vì \(AD\)là tia phân giác của góc \(A\)nên suy ra \(AD\)đồng thời là đường cao trong \(\Delta AMN\)ứng với cạnh \(MN\).

\( \Rightarrow AD \bot MN\) (đpcm). (4)

+ \(\Delta ABC\)có \(AD\)là tia phân giác của góc \(A\)nên suy ra \(AD\)đồng thời là đường cao ứng với cạnh \(BC\).

\( \Rightarrow AD \bot BC\) (5)

Từ (4), (5) suy ra \(MN//BC\) (đpcm)

+ Đường thẳng d song song với \(AM\)

\( \Rightarrow \)\(\angle AMN = \angle EIN\)(hai góc ở vị trí so le trong) (7)

Mặt khác \(\Delta AMN\)cân tại \(A\)\( \Rightarrow \)\(\angle AMN = \angle ANM\) (8)

Từ (7) và (8) suy ra: \(\angle EIN = \angle ANM = \angle ENI\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta ENI\)cân tại \(E\)

\( \Rightarrow \)\(EI = EN\) (9)

+ Đường thẳng d song song với \(AM\)

\( \Rightarrow \)\(\angle EIA = \angle MAI{\rm{ }}\left( { = \angle AIE} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta EAI\)cân tại \(E\)

\( \Rightarrow \)\(EI = EA\) (10)

Từ (9) và (10) suy ra: \(EI = EN = EA = \frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}AM \Leftrightarrow EI = \frac{1}{2}AM\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link