Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) . \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABC\)

Câu hỏi số 465265:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) . \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABC\) ( \(I\) thuộc \(AC\) . Kẻ \(ID\) vuông góc với \(BC\) tại \(D\) .

a) Chứng minh: Tam giác \(ABI\) bằng tam giác \(DBI\) .

b) Chứng minh: Tam giác \(ABD\) cân và \(BI\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AD\) .

c) Kéo dài \(DI\) cắt đường thẳng \(BA\) tại \(E\) . Chứng minh: \(ID < IE\) và \(IE = IC\) .

d) Tam giác \(ABC\) cần có thêm điều kiện gì để điểm \(I\) cách đều ba đỉnh của tam giác \(BEC\) .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:465265

Phương pháp giải

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác (Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

+ Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+ Tính chất đường phân giác, tổng ba góc trong một tam giác,…

Giải chi tiết

a) Theo đề bài: \(ID\) vuông góc với \(BC\) tại \(D\) \( \Rightarrow \Delta DBI\) vuông tại \(D\)

Xét hai tam giác vuông \(\Delta ABI\) và \(\Delta DBI\) có:

+ \(BI\) chung

+ \(\angle ABI = \angle DBI\) ( \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABC\) )

\( \Rightarrow \Delta ABI = \Delta DBI\) (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)

b) Do \(\Delta ABI = \Delta DBI\) \( \Rightarrow AB = DB\) (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

Mặt khác \(\Delta ABI = \Delta DBI \Rightarrow AI = DI\) (hai cạnh tương ứng)

Vậy ta có: \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = DB\\AI = DI\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(BI\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AD\) (đpcm)

+ Tam giác \(AIE\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow AI < EI\) (mối quan hệ giữa cạnh và góc) (Cạnh gv < cạnh huyền)

Mà theo b) ta có: \(AI = DI\)

\( \Rightarrow DI < EI\) (đpcm).

+ Xét hai tam giác vuông \(\Delta AIE\) và \(\Delta DIC\) có:

\(\angle EAI = \angle CDI = {90^o}\)

\(AI = DI\)

\(\angle AIE = \angle DIC\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta AIE = \Delta DIC\) (g.c.g)

\( \Rightarrow IE = IC\) (đpcm)

d) Giả sử \(I\) cách đều ba đỉnh của tam giác \(BEC\) .

\( \Rightarrow IE = IB = IC\)

\( \Rightarrow \Delta IBE\) cân tại \(I\)

\( \Rightarrow \) \(\angle IBE = \angle IEB = \frac{1}{2}\angle ABC\)

Mặt khác \(\Delta BED\) vuông tại \(D\) nên: \(\angle DEB + \angle EBD = \angle IEB + \angle ABC = {90^o}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\angle ABC + \angle ABC = {90^o}\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\angle ABC = {90^o}\\ \Leftrightarrow \angle ABC = {60^o}\end{array}\)

Vậy tam giác vuông \(ABC\) cần có thêm điều kiện \(\angle ABC = {60^o}\) để \(I\) cách đều ba đỉnh của tam giác \(BEC\) .

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link