Tìm các cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \({\log _a}b + 6{\log _b}a = 5;\) \(2 \le a \le

Câu hỏi số 465583:

Vận dụng

Tìm các cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \({\log _a}b + 6{\log _b}a = 5;\) \(2 \le a \le 2020,\,\,2 \le b \le 2021\).

A. \(53\)

B. \(51\)

C. \(54\)

D. \(52\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:465583

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _a}b \Rightarrow {\log _b}a = \dfrac{1}{t}\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\), giải phương trình tìm \(t\).

- Đới với mỗi TH, biểu diễn \(b\) theo \(a\), dựa vào điều kiện đề bài cho tìm \(\left( {a;b} \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = {\log _a}b \Rightarrow {\log _b}a = \dfrac{1}{t}\), khi đó phương trình đã cho trở thành:

\(t + \dfrac{6}{t} = 5 \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right.\)

+ TH1: \(t = 2 \Rightarrow {\log _a}b = 2 \Rightarrow b = {a^2}\).

Theo bài ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 \le a \le 2020\\2 \le b \le 2021\\b = {a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le a \le 2020\\2 \le {a^2} \le 2021\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt 2 \le a \le \sqrt {2021} \)

Mà \(a \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a \in \left\{ {2;3;4;...;44} \right\}\) \( \Rightarrow \)Có 43 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn.

+ TH1: \(t = 3 \Rightarrow {\log _a}b = 3 \Rightarrow b = {a^3}\).

Theo bài ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 \le a \le 2020\\2 \le b \le 2021\\b = {a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le a \le 2020\\2 \le {a^3} \le 2021\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt[3]{2} \le a \le \sqrt[3]{{2021}}\)

Mà \(a \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a \in \left\{ {2;3;4;...;12} \right\}\) \( \Rightarrow \) Có 11 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả \(43 + 11 = 54\) cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.