Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(f'\left( x

Câu hỏi số 465582:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\). Tổng giá trị các phần tử của \(S\) bằng:

A. \(10\)

B. \(14\)

C. \( - 12\)

D. \(15\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:465582

Phương pháp giải

- Từ đồ thị hàm số giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).

- Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\), tính \(g'\left( x \right)\) và giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\) và xác định các khoảng nghịch biến của hàm số theo \(m\).

- Để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\) thì \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\) phải là tập con của các khoảng nghịch biến của hàm số theo \(m\).

- Giải bất phương trình tìm \(m\).

Giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) đã cho ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\left( {nghiem\,\,kep} \right)\\x = 2\end{array} \right.\).

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 2m} \right)f'\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} - 2mx + {m^2} + 1 = 2\end{array} \right.\) (không xét \({x^2} - 2mx + {m^2} + 1 = - 1\) vì qua các nghiệm của phương trình này thì \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} - 2mx + {m^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{\left( {x - m} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 1\\x = m - 1\end{array} \right.\).

Ta có BBT hàm số \(g\left( x \right)\) như sau:

Dựa vào BBT ta thấy để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\) thì

\(\left[ \begin{array}{l}\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \subset \left( { - \infty ;m - 1} \right)\\\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \subset \left( {m;m + 1} \right)\end{array} \right.\)\(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2} \le m - 1\\m \le 0 < \dfrac{1}{2} \le m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{3}{2}\\ - \dfrac{1}{2} \le m \le 0\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right] \cup \left[ {\dfrac{3}{2};5} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow m \in \left\{ {0;2;3;4;5} \right\} = S\).

Vậy tổng giá trị các phần tử của \(S\) bằng: \(0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.