Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3;0;0} \right)\), \(B\left( { - 3;0;0}
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3;0;0} \right)\), \(B\left( { - 3;0;0} \right)\) và \(C\left( {0;5;1} \right)\). Gọi \(M\) là một điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MA + MB = 10\), giá trị nhỏ nhất của \(MC\) là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Xét hệ trục tọa đọ \(Oxy\) với \(A\left( {3;0;0} \right),\,\,B\left( { - 3;0;0} \right)\), xác định quỹ tích điểm \(M\).
- Gọi \({C_1}\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(\left( {Oxy} \right)\), áp dụng định lí Pytago: \(MC = \sqrt {MC_1^2 + C{C_1}^2} \), chứng minh để \(MC\) đạt GTNN thì \(M{C_1}\) phải đạt GTNN.
- Dựa vào hình vẽ tìm GTNN của \(M{C_1}\).
Xét hệ trục tọa đọ \(Oxy\) với \(A\left( {3;0;0} \right),\,\,B\left( { - 3;0;0} \right)\).
Vì \(MA + MB = 10\) nên tập hợp điểm \(M\) là đường elip nhận \(A,\,\,B\) là 2 tiêu điểm. Khi đó ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}MA + MB = 2a = 10 \Rightarrow a = 5\\AB = 6 = 2c \Rightarrow c = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 4\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(M\) là đường elip có phương trình \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Gọi \({C_1}\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(\left( {Oxy} \right)\) ta có \({C_1}\left( {0;5;0} \right)\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(MC = \sqrt {MC_1^2 + C{C_1}^2} = \sqrt {M{C_1}^2 + 1} \), do đó để \(MC\) đạt GTNN thì \(M{C_1}\) phải đạt GTNN.
Ta có \(M{C_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M \equiv M'\left( {0;4} \right)\), khi đó \(M{C_1}{\,_{\min }} = 1\).
Vậy \(M{C_{\min }} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 \) khi \(M\left( {0;4;0} \right)\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
