Cho \(x,\;y\) ;là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{\dfrac{4}{3}}}x = {\log _3}y = {\log _2}\left( {2x - 3y} \right)\). Giá trị của \(\dfrac{x}{y}\) bằng:

Câu 466673: Cho \(x,\;y\) ;là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{\dfrac{4}{3}}}x = {\log _3}y = {\log _2}\left( {2x - 3y} \right)\). Giá trị của \(\dfrac{x}{y}\) bằng:

A. \(\dfrac{9}{4}\)

B. \({\log _3}\dfrac{3}{2}\)

C. \({\log _2}\dfrac{2}{3}\)

D. \(\dfrac{4}{9}\)

Câu hỏi : 466673

Quảng cáo

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \({\log _{\dfrac{4}{3}}}x = {\log _3}y = {\log _2}\left( {2x - 3y} \right) = t\).
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)}^t}}\\{y = {3^t}}\\{2x - 3y = {2^t}}\end{array}} \right. \Rightarrow 2.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} - {3.3^t} = {2^t} \Leftrightarrow 2.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} - 3.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} - 1 = 0\;\;\left( 1 \right)\)
Đặt \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} = a\;\;\left( {a > 0} \right)\), khi đó phương trình (1) trở thành:
\(2a - \dfrac{3}{a} - 1 = 0 \Leftrightarrow 2{a^2} - a - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1\;\;\left( {loai} \right)}\\{a = \dfrac{3}{2}\;\;\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)
Do đó \(\dfrac{x}{y} = {\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2t}} = {a^2} = \dfrac{9}{4}\).
Cách 2: Rút \(y = {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{3}}}x}}\) thế vào ta được \({\log _{\dfrac{4}{3}}}x = {\log _2}\left( {2x - {{3.3}^{{{\log }_{ & \dfrac{4}{3}}}x}}} \right)\)
Giải phương trình ta có \(x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow y = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{9}{4}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.