Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) đến

Câu hỏi số 466805:

Vận dụng cao

Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) đến đường tròn (\(B,\,\,C\) là các tiếp điểm). Đoạn thẳng \(AO\) cắt \(BC\) và đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(I.\)

1) Chứng minh rằng \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp và \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC.\)

2) Gọi \(D\) là điểm thuộc cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right),\,\,\left( {BD < DC} \right)\) và \(K\) là giao điểm thứ hai của tia \(DM\) với đườn tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh rằng: \(MD.MK = MA.MO.\)

3) Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của\(A\) trên các đường thẳng \(DB,\,\,DC.\) Chứng minh \(AF//ME.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:466805

Giải chi tiết

1) Vì AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên tứ giác ABOC có

\(\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ \)\( \Rightarrow \angle ABO + \angle ACO = 180^\circ \)

Vậy ABOC là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC

Vì B, C là các tiếp điểm kẻ từ A nên \(AB = AC;OB = OC \Rightarrow \)OA là trung trực của BC

Suy ra \(IB = IC \Rightarrow \Delta IBC\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \angle IBC = \angle ICB\)

Mặt khác vì AB là tiếp tuyến của đường tròn nên ta có \(\angle ABI = \angle ICB\)\( \Rightarrow \angle ABI = \angle IBC\) \( \Rightarrow BI\) là tia phân giác của \(\angle ABC.\)

Chứng minh tương tự ta có CI là tia phân giác của \(\angle ACB.\)

Vậy I là giao của hai đường phân giác trong của ∆ABC nên nó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

2) Tam giác ABO vuông tại B có BM là đường cao hạ từ B nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có

\(MA.MO = M{B^2} = MB.MC\;\left( {do\;MB = MC} \right)\)

Xét hai tam giác MBD và MKC có \(\angle BMD = \angle KMC;\) \(\angle BDM = \angle KCM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK) nên \(\Delta MBD\~\Delta MKC{\rm{ }}\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MK}} = \dfrac{{MD}}{{MC}}\)\( \Rightarrow MD.MK = MB.MC\)

\( \Rightarrow MD.MK = MA.MO\) (đpcm)

3) Ta có \(\angle AEB + \angle AMB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow AEBM\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle AME = \angle ABE\) (1)

Nếu \(Bx\) là tia đối của tia BA thì \(\angle ABE = \angle DBx = \angle DCB\) (do \(Bx\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)) (2)

Ta có: \(\angle AMC + \angle CFA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow AMCF\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle DCB = \angle FAM\) (3)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) \( \Rightarrow \angle EMA = \angle FMA\)\( \Rightarrow ME//AF\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link