Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}{\left( {x

Câu hỏi số 467542:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2\) trên \(\mathbb{R}\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \(Q = ab\) bằng

A. 6

B. 0

C. 8

D. 4

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467542

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số.

- Sử dụng các công thức

\({\log _{{a^m}}}{b^n} = \dfrac{n}{m}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\), \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\).

- Giải phương trình logarit: \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 > 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 3\end{array} \right.\)

Ta có \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {2x - 2} \right) + 2{\log _2}\left| {x - 3} \right| = 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {2x - 2} \right)\left| {x - 3} \right|} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 2} \right)\left| {x - 3} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\\left( {x - 1} \right)\left( {3 - x} \right) = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 4x + 2 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\ - {x^2} + 4x - 4 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 2 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tổng các nghiệm đã cho là \(S = 4 + \sqrt 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(Q = ab = 4.1 = 4\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.