Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2\) trên \(\mathbb{R}\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \(Q = ab\) bằng

Câu 467542: Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2\) trên \(\mathbb{R}\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \(Q = ab\) bằng

A. 6

B. 0

C. 8

D. 4

Câu hỏi : 467542

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số.

- Sử dụng các công thức

\({\log _{{a^m}}}{b^n} = \dfrac{n}{m}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\), \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\).

- Giải phương trình logarit: \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\).

Đáp án : D
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 > 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 3\end{array} \right.\)
Ta có \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {2x - 2} \right) + 2{\log _2}\left| {x - 3} \right| = 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {2x - 2} \right)\left| {x - 3} \right|} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 2} \right)\left| {x - 3} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\\left( {x - 1} \right)\left( {3 - x} \right) = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 4x + 2 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\ - {x^2} + 4x - 4 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 2 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tổng các nghiệm đã cho là \(S = 4 + \sqrt 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(Q = ab = 4.1 = 4\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.