Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}\) và mặt bên tạo với mặt
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}\) và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích V của khối chóp.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Giả sử khối chóp có cạnh đáy bằng \(x\). Sử dụng tính chất tam giác đều và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của hình chóp theo \(x\), sau đó áp dụng định lí Pytago giải phương trình tìm \(x\).
- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).
Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) ta có \(SO \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SCM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\,\,\left( {cmt} \right)\\CM \subset \left( {ABC} \right),\,\,CM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;CM} \right) = \angle SMC = {60^0}\).
Giả sử hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có đáy là \(x\) \( \Rightarrow CM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OC = \dfrac{2}{3}CM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{3}\\OM = \dfrac{1}{3}CM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{6}\end{array} \right.\).
Xét tam giác vuông \(SOM\) ta có: \(SO = OM.\tan {60^0} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \dfrac{x}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SCM\) ta có:
\(\begin{array}{l}S{O^2} + O{C^2} = S{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{{12}}{x^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{3}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow x = 2a\end{array}\)
\( \Rightarrow SO = \dfrac{x}{2} = a\) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).
Vậy \(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
