Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}\) và mặt bên tạo với mặt

Câu hỏi số 467543:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}\) và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích V của khối chóp.

A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(V = \dfrac{{{a^3}7\sqrt {21} }}{{32}}\)

C. \(V = {a^3}\sqrt 3 \)

D. \(V = \dfrac{{{a^3}7\sqrt {21} }}{{96}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467543

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Giả sử khối chóp có cạnh đáy bằng \(x\). Sử dụng tính chất tam giác đều và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của hình chóp theo \(x\), sau đó áp dụng định lí Pytago giải phương trình tìm \(x\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) ta có \(SO \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SCM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\,\,\left( {cmt} \right)\\CM \subset \left( {ABC} \right),\,\,CM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;CM} \right) = \angle SMC = {60^0}\).

Giả sử hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có đáy là \(x\) \( \Rightarrow CM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OC = \dfrac{2}{3}CM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{3}\\OM = \dfrac{1}{3}CM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{6}\end{array} \right.\).

Xét tam giác vuông \(SOM\) ta có: \(SO = OM.\tan {60^0} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \dfrac{x}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SCM\) ta có:

\(\begin{array}{l}S{O^2} + O{C^2} = S{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{{12}}{x^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{3}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow x = 2a\end{array}\)

\( \Rightarrow SO = \dfrac{x}{2} = a\) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).

Vậy \(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.