Gọi n là số nguyên dương sao cho \(\dfrac{1}{{{{\log }_{2020}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{{2020}^2}}}x}} +

Câu hỏi số 467547:

Vận dụng

Gọi n là số nguyên dương sao cho

\(\dfrac{1}{{{{\log }_{2020}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{{2020}^2}}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{{2020}^3}}}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{{{2020}^n}}}x}} = \dfrac{{210}}{{{{\log }_{2020}}x}}\) đúng với mọi x dương, \(x \ne 1\).

Tìm giá trị của biểu thức \(P = 3n + 4\).

A. \(P = 16.\)

B. \(P = 61.\)

C. \(P = 46.\)

D. \(P = 64.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467547

Phương pháp giải

- Sử dụng các công thức: \({\log _{{a^m}}}b = \dfrac{1}{m}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\).

- Sử dụng công thức \(1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\), giải phương trình tìm \(n\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\log }_{2020}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{{2020}^2}}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{{2020}^3}}}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{{{2020}^n}}}x}} = \dfrac{{210}}{{{{\log }_{2020}}x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\log }_{2020}}x}} + \dfrac{2}{{{{\log }_{2020}}x}} + \dfrac{3}{{{{\log }_{2020}}x}} + .... + \dfrac{n}{{{{\log }_{2020}}x}} = \dfrac{{210}}{{{{\log }_{2020}}x}}\\ \Leftrightarrow 1 + 2 + 3 + ... + n = 210\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 210\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 420 = 0 \Leftrightarrow n = 20\,\,\left( {do\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\end{array}\)

Vậy \(P = 3n + 4 = 3.20 + 4 = 64\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.