Trong không gian cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AB

Câu hỏi số 467548:

Vận dụng cao

Trong không gian cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AB = AD = 2,\) \(CD = 1\), cạnh bên \(SA = 2\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(E\) là trung điểm \(AB\). Tính diện tích \({S_{mc}}\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp\(S.BCE\).

A. \({S_{mc}} = 41\pi \)

B. \({S_{mc}} = \dfrac{{14}}{4}\pi \)

C. \({S_{mc}} = \dfrac{{41}}{2}\pi \)

D. \({S_{mc}} = 14\pi \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467548

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,\,N,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,\,SC,\,\,BC\). Gọi \(O = AC \cap DE\).

Vì \(ON\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) nên \(ON//SA\) \( \Rightarrow ON \bot \left( {ABCD} \right)\).

Mà \(ON \subset \left( {MNF} \right)\) nên \(\left( {MNF} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).

Dễ thấy \(ADCE\) là hình chữ nhật nên \(CE//AD \Rightarrow CD \bot MF\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNF} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = MF\\CE \subset \left( {ABCD} \right),\,\,CE \bot MF\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {MNF} \right) \Rightarrow CE \bot MN\).

Ta có: \(SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}} = \sqrt 5 \), \(MC = \sqrt {C{D^2} + D{M^2}} = \sqrt 2 \), \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + A{D^2} + C{D^2}} = 3\).

Xét tam giác \(SMC\) ta có \(M{N^2} = \dfrac{{S{M^2} + M{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{5}{4} \Rightarrow MN = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Xét tam giác \(MNC\) ta có: \(M{C^2} = 2,\,\,M{N^2} + N{C^2} = \dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{4} = 2\) \( \Rightarrow M{C^2} = M{N^2} + N{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta MNC\) vuông tại \(N\) \( \Rightarrow MN \bot SC\).

\( \Rightarrow MN \bot \left( {SCE} \right)\).

Dựng trục \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(F\) và song song với \(SA\). Vì \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\) nên \(F\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCE\) \( \Rightarrow \Delta \) là trục của \(\left( {BCE} \right)\) và \(\Delta \subset \left( {MNF} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CE//AD\\AD \bot \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CD \bot SE\) \( \Rightarrow \Delta SCE\) vuông tại \(E\) \( \Rightarrow N\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SCE\).

Vì \(MN \bot \left( {SCE} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MN\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SCE\).

Trong mặt phẳng \(\left( {MNF} \right)\) gọi \(I = \Delta \cap MN\) thì \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.CBE\).

Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.CBE\) thì \(R = IC = \sqrt {C{F^2} + I{F^2}} \)

Mà \(CF = \dfrac{{CB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {C{E^2} + D{E^2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

\(NO = \dfrac{{SA}}{2} = 1;\,\,\dfrac{{IF}}{{NO}} = \dfrac{{MF}}{{MO}} = \dfrac{{AB + CD}}{{2.\dfrac{{AE}}{2}}} = \dfrac{{2 + 1}}{1} = 3 \Rightarrow IF = 3NO = 3\)

Vậy \(R = \sqrt {I{F^2} + C{F^2}} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2} \Rightarrow {S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 41\pi \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.