Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để hàm số \(y = \left( {1 - {m^2}} \right){x^3} - \left( {m - 1}

Câu hỏi số 468640:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để hàm số \(y = \left( {1 - {m^2}} \right){x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + x - 7\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(3\)

B. \(0\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468640

Phương pháp giải

Xét 2 TH \(1 - {m^2} = 0\) và \(1 - {m^2} \ne 0\).

TH1: \(1 - {m^2} = 0\), thay \(m\) vào hàm số và xét sự đồng biến của hàm bậc nhất hoặc bậc hai.

TH2: \(1 - {m^2} \ne 0\), tính \(y' = A{x^2} + Bx + C\), để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

TH1: \(1 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\).

Khi \(m = 1 \Rightarrow y = x - 7\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn)

Khi \(m = - 1 \Rightarrow y = 2{x^2} + x - 7\) đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\) (không thỏa mãn).

TH2: \(1 - {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).

Ta có \(y' = 3\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 1\).

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {m^2} > 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3\left( {1 - {m^2}} \right) \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\4{m^2} - 2m - 2 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\ - \dfrac{1}{2} \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le m < 1\).

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có \( - \dfrac{1}{2} \le m \le 1\).

Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m = 1\).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.