Cho phương trình \({e^{2 + 2{{\sin }^2}x}} - 3{e^{1 + {{\sin }^2}x}} = m{e^{{{\cos }^2}x - 2}} - \left( {m + 2}

Câu hỏi số 468641:

Vận dụng

Cho phương trình \({e^{2 + 2{{\sin }^2}x}} - 3{e^{1 + {{\sin }^2}x}} = m{e^{{{\cos }^2}x - 2}} - \left( {m + 2} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) để phương trình đã cho có nghiệm?

A. \(36\)

B. \(46\)

C. \(44\)

D. \(38\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468641

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {e^{1 + {{\sin }^2}x}}\), \(t \in \left[ {e;{e^2}} \right]\), cô lập \(m\) đưa phương trình ban đầu về dạng \(m = f\left( t \right)\).

- Tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {e;{e^2}} \right]} f\left( t \right),\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {e;{e^2}} \right]} f\left( t \right)\) bằng phương pháp hàm số.

- Để phương trình \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {e;{e^2}} \right]\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {e;{e^2}} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {e;{e^2}} \right]} f\left( t \right)\).

- Kết hợp điều kiện đề bài tìm số giá trị \(m\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{e^{2 + 2{{\sin }^2}x}} - 3{e^{1 + {{\sin }^2}x}} = m{e^{{{\cos }^2}x - 2}} - \left( {m + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{e^{1 + {{\sin }^2}x}}} \right)^2} - 3{e^{1 + {{\sin }^2}x}} = m{\left( {{e^{1 + {{\sin }^2}x}}} \right)^{ - 1}} - \left( {m + 2} \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {e^{1 + {{\sin }^2}x}}\), do \(0 \le {\sin ^2} \le 1\) nên \(t \in \left[ {e;{e^2}} \right]\), khi đó phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}{t^2} - 3t = \dfrac{m}{t} - \left( {m + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {t^3} - 3{t^2} = m - mt - 2t\\ \Leftrightarrow {t^3} - 3{t^2} + 2t = m\left( {1 - t} \right)\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^3} - 3{t^2} + 2t}}{{1 - t}}\,\,\left( {t \in \left[ {e;{e^2}} \right]} \right)\\ \Leftrightarrow m = - t\left( {t - 2} \right) = - {t^2} + 2t\,\,\left( {t \in \left[ {e;{e^2}} \right]} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} + 2t\) với \(t \in \left[ {e;{e^2}} \right]\) ta có \(f'\left( t \right) = - 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \notin \left[ {e;{e^2}} \right]\).

\(f\left( e \right) = - {e^2} + 2e,\,\,f\left( {{e^2}} \right) = - {e^4} + 2{e^2}\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {e;{e^2}} \right]} f\left( t \right) = - {e^4} + 2{e^2},\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {e;{e^2}} \right]} f\left( t \right) = - {e^2} + 2e\).

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ {e;{e^2}} \right]\)

\( \Rightarrow - {e^4} + 2{e^2} \le m \le - {e^2} + 2e\)

Kết hợp với điều kiện đề bài ta có \(m \in \left\{ { - 39; - 38;...; - 2} \right\}\). Vậy có 38 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.