Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\), bán kính đáy \(r =

Câu hỏi số 468642:

Vận dụng

Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\), bán kính đáy \(r = 5\). Biết \(AB\) là một dây cung của đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho tam giác \(O'AB\) là tam giác đều và mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) tạo với mặt phẳng chứa hình tròn \(\left( O \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

A. \(75\sqrt 5 \pi \)

B. \(25\sqrt 5 \pi \)

C. \(\dfrac{{125\sqrt 7 \pi }}{7}\)

D. \(\dfrac{{375\sqrt 7 \pi }}{7}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468642

Phương pháp giải

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Đặt \(OO' = x\), áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(OM\) theo \(x\).

- Áp dụng định lí Pytago tính \(AM\) và suy ra \(AB\) theo \(x\), từ đó suy ra \(O'A = AB\).

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(O'OA\) tìm \(x\).

- Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có \(\angle \left( {\left( {O'AB} \right);\left( {OAB} \right)} \right) = {60^0}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot O'M\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {O'AB} \right);\left( {OAB} \right)} \right) = \angle \left( {O'M;OM} \right) = \angle O'MO = {60^0}\).

Đặt \(OO' = x\), xét tam giác vuông \(O'OM\) ta có \(OM = OO'.\cot {60^0} = \dfrac{x}{{\sqrt 3 }}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAM\) ta có \(AM = \sqrt {O{A^2} - O{M^2}} = \sqrt {25 - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \).

\( \Rightarrow AB = 2AM = 2\sqrt {25 - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \).

Vì \(\Delta O'AB\) đều nên \(O'A = AB = 2\sqrt {25 - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \).

Áp dụng định líu Pytago trong tam giác vuông \(O'OA\) ta có:

\(\begin{array}{l}O'{A^2} = O'{O^2} + O{A^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {25 - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \right) = {x^2} + 25\\ \Leftrightarrow 100 - \dfrac{{4{x^2}}}{3} = {x^2} + 25\\ \Leftrightarrow \dfrac{{7{x^2}}}{3} = 75 \Leftrightarrow x = \dfrac{{15\sqrt 7 }}{7}\end{array}\).

Vậy thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.5^2}.\dfrac{{15\sqrt 7 }}{7} = \dfrac{{375\sqrt 7 \pi }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.