Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\), bán kính đáy \(r = 5\). Biết \(AB\) là một dây cung của đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho tam giác \(O'AB\) là tam giác đều và mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) tạo với mặt phẳng chứa hình tròn \(\left( O \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

Câu 468642: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\), bán kính đáy \(r = 5\). Biết \(AB\) là một dây cung của đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho tam giác \(O'AB\) là tam giác đều và mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) tạo với mặt phẳng chứa hình tròn \(\left( O \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

A. \(75\sqrt 5 \pi \)

B. \(25\sqrt 5 \pi \)

C. \(\dfrac{{125\sqrt 7 \pi }}{7}\)

D. \(\dfrac{{375\sqrt 7 \pi }}{7}\)

Câu hỏi : 468642

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Đặt \(OO' = x\), áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(OM\) theo \(x\).

- Áp dụng định lí Pytago tính \(AM\) và suy ra \(AB\) theo \(x\), từ đó suy ra \(O'A = AB\).

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(O'OA\) tìm \(x\).

- Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\).

Đáp án : D
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có \(\angle \left( {\left( {O'AB} \right);\left( {OAB} \right)} \right) = {60^0}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot O'M\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {O'AB} \right);\left( {OAB} \right)} \right) = \angle \left( {O'M;OM} \right) = \angle O'MO = {60^0}\).

Đặt \(OO' = x\), xét tam giác vuông \(O'OM\) ta có \(OM = OO'.\cot {60^0} = \dfrac{x}{{\sqrt 3 }}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAM\) ta có \(AM = \sqrt {O{A^2} - O{M^2}} = \sqrt {25 - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \).

\( \Rightarrow AB = 2AM = 2\sqrt {25 - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \).

Vì \(\Delta O'AB\) đều nên \(O'A = AB = 2\sqrt {25 - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \).

Áp dụng định líu Pytago trong tam giác vuông \(O'OA\) ta có:

\(\begin{array}{l}O'{A^2} = O'{O^2} + O{A^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {25 - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \right) = {x^2} + 25\\ \Leftrightarrow 100 - \dfrac{{4{x^2}}}{3} = {x^2} + 25\\ \Leftrightarrow \dfrac{{7{x^2}}}{3} = 75 \Leftrightarrow x = \dfrac{{15\sqrt 7 }}{7}\end{array}\).

Vậy thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.5^2}.\dfrac{{15\sqrt 7 }}{7} = \dfrac{{375\sqrt 7 \pi }}{7}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.