Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA = a\) và \(SA \bot \left(

Câu hỏi số 468643:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA = a\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SI\) và \(AB\) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt {17} a}}{4}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {17} a}}{7}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {23} a}}{7}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {57} a}}{{19}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468643

Phương pháp giải

- Gọi \(J\) là trung điểm của \(AC\), chứng minh \(d\left( {AB;SI} \right) = d\left( {A;\left( {SIJ} \right)} \right)\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH//CM\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\left( {K \in SH} \right)\), chứng minh \(AK \bot \left( {SIJ} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(J\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(IJ//AB \Rightarrow AB//\left( {SIJ} \right) \supset SI\)

\( \Rightarrow d\left( {AB;SI} \right) = d\left( {AB;\left( {SIJ} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SIJ} \right)} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), vì \(\Delta ABC\) đều nên \(CM \bot AB \Rightarrow CM \bot IJ\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH//CM \Rightarrow AH \bot IJ\) \(\left( {H \in IJ} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IJ \bot AH\\IJ \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow IJ \bot \left( {SAH} \right)\).

Trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SH\\AK \bot IJ\,\,\left( {do\,\,IJ \bot \left( {SAH} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SIJ} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SIJ} \right)} \right) = AK\).

Dễ dàng chứng minh được \(AH = \dfrac{1}{2}CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAH\): \(AK = \dfrac{{SH.AH}}{{\sqrt {S{H^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).

Vậy \(d\left( {AB;SI} \right) = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.