Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) và \(A'A = A'B = A'C\). Biết

Câu hỏi số 468645:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) và \(A'A = A'B = A'C\). Biết rằng \(AB = 2a\), \(BC = \sqrt 3 a\) và mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({45^0}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng:

A. \(2\sqrt 3 {a^3}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

C. \(\sqrt 3 {a^3}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468645

Phương pháp giải

- Vì \(A'A = A'B = A'C\) nên hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông hoặc tính chất tam giác vuông cân tính chiều cao của lăng trụ.

- Thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = Bh\).

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,BC\).

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), lại có \(A'A = A'B = A'C\) nên hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow A'M \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC \Rightarrow MN//AB\) \( \Rightarrow MN \bot AC\) và \(MN = \dfrac{1}{2}AB = a\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot MN\\AC \bot A'M\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {A'MN} \right) \Rightarrow AC \bot A'N\).

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'N;MN} \right) = \angle A'NM = {45^0}\).

\( \Rightarrow \Delta A'MN\) vuông cân tại \(M\) \( \Rightarrow A'M = MN = a\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'M.{S_{\Delta ABC}} = A'M.\dfrac{1}{2}AB.BC = a.\dfrac{1}{2}.2a.a\sqrt 3 = \sqrt 3 {a^3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.