Cho bất phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} - x + 2} \right) + 1 \ge {\log _5}\left( {{x^2} + 3x + m - 4}

Câu hỏi số 468650:

Vận dụng

Cho bất phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} - x + 2} \right) + 1 \ge {\log _5}\left( {{x^2} + 3x + m - 4} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x\) thuộc đoạn \(\left[ {0;5} \right]\)?

A. \(6\)

B. \(5\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468650

Phương pháp giải

- Giải bất phương trình \({\log _a}f\left( x \right) \ge {\log _a}g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\\f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\end{array} \right.\).

- Sử dụng phương pháp cô lập \(m\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _5}\left( {{x^2} - x + 2} \right) + 1 \ge {\log _5}\left( {{x^2} + 3x + m - 4} \right)\,\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {5{x^2} - 5x + 10} \right) \ge {\log _5}\left( {{x^2} + 3x + m - 4} \right)\,\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + m - 4 > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\\5{x^2} - 5x + 10 \ge {x^2} + 3x + m - 4\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - {x^2} - 3x + 4\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\,\,\,\left( 1 \right)\\m \le 4{x^2} - 8x + 14\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1): \(m > - {x^2} - 3x + 4\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\).

Đặt \(f\left( x \right) = - {x^2} - 3x + 4\) ta có \(f'\left( x \right) = - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{2} \notin \left[ {0;5} \right]\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\)nghịch biến trên \(\left( {0;5} \right)\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 4\).

\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) \Leftrightarrow m > 4\).

Giải (2): \(m \le 4{x^2} - 8x + 14\,\,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\).

Đặt \(g\left( x \right) = 4{x^2} - 8x + 14\) ta có \(g'\left( x \right) = 8x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {0;5} \right]\).

\(g\left( 0 \right) = 14,\,\,g\left( 1 \right) = 10,\,\,g\left( 5 \right) = 74\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 10\).

\( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le 10\).

Vậy \(4 < m \le 10\), mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {5;6;7;8;9;10} \right\}\) \( \Rightarrow \) Có 6 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.