Nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}}\) là:

Câu hỏi số 468824:

Vận dụng

A. \(\cos x + {\sin ^2}x - \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \dfrac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\)

B. \(\sin x + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} - \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \dfrac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\)

C. \( - \dfrac{{{{\sin }^4}x}}{4} - \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + \sin x + C\)

D. \( - \dfrac{{{{\sin }^4}x}}{4} - \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} - \sin x + C\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:468824

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\), rút gọn và sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \sin x\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}} = \dfrac{{{{\cos }^4}x\cos x}}{{1 - \sin x}} = \dfrac{{{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2}\cos x}}{{1 - \sin x}}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^2}{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}\cos x}}{{1 - \sin x}} = \left( {1 - \sin x} \right){\left( {1 + \sin x} \right)^2}\cos x\end{array}\)

Khi đó ta có \(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}}dx} = \int {\left( {1 - \sin x} \right){{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}\cos xdx} \).

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {\left( {1 - t} \right){{\left( {1 + t} \right)}^2}dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {1 + t - {t^2} - {t^3}} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = t + \dfrac{{{t^2}}}{2} - \dfrac{{{t^3}}}{3} - \dfrac{{{t^4}}}{4} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin x + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} - \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \dfrac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.