Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, \(AB//CD,\,\,AB = 2DC,\,\,\)\(\angle ABC = {45^0}\). Hình

Câu hỏi số 469444:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, \(AB//CD,\,\,AB = 2DC,\,\,\)\(\angle ABC = {45^0}\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(AB\) và \(SC \bot BC,\,\,SC = a\). Gọi góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\alpha \). Khi \(\alpha \) thay đổi, tìm \(\cos \alpha \) để thể tích khối chóp \(S.ABCD\) có giá trị lớn nhất.

A. \(\cos \alpha = - \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

B. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

C. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\cos \alpha = \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469444

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SC\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SCH} \right) \Rightarrow BC \bot HC\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SC \subset \left( {SBC} \right),\,\,SC \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\\HC \subset \left( {ABCD} \right),\,\,HC \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = \alpha \).

Xét tam giác vuông \(SHC\) ta có: \(SH = SC.\sin \alpha = a.sin\alpha \), \(HC = SC.cos\alpha = a.\cos \alpha \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HC \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ABC = {45^0}\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta BCH\) vuông cân tại \(C\) \( \Rightarrow HB = HC.\sqrt 2 = a\sqrt 2 .cos\alpha \).

\( \Rightarrow AB = 2HB = 2a\sqrt 2 .cos\alpha \) và \(DC = HB = a\sqrt 2 .cos\alpha \).

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BH\) ta có \(CK \bot HB \Rightarrow CK \bot AB\) và \(CK = \dfrac{1}{2}BH = \dfrac{1}{2}a\sqrt 2 \cos \alpha \).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).CK}}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 2 .cos\alpha + a\sqrt 2 .cos\alpha }}{2}.\dfrac{1}{2}a\sqrt 2 \cos \alpha = \dfrac{3}{2}{a^2}{\cos ^2}\alpha \).

\( \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a.\sin \alpha .\dfrac{3}{2}{a^2}{\cos ^2}\alpha = \dfrac{1}{2}{a^3}\sin \alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)\).

Đặt \(t = \sin \alpha ,\,\,t \in \left( {0;1} \right)\), xét hàm số \(f\left( t \right) = t - {t^3},\,\,t \in \left( {0;1} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = 1 - 3{t^2} = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy \({V_{S.ABCD}}\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\sin \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\) (do \(0 < \alpha \le {90^0}\) nên \(\cos \alpha > 0\)).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.