Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(BC\) và hợp với mặt
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(BC\) và hợp với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \(\alpha \,\,\left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right)\). Gọi \(\beta ,\,\,\gamma \) lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng \(AB,\,\,AC\) và 
\(\left( P \right)\). Tính giá trị biểu thức \(P = {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma \).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Kẻ \(AH \bot \left( P \right)\,\,\left( {H \in \left( P \right)} \right)\), xác định các góc \(\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma \).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tìm mối quan hệ giữa \(\cos \alpha ,\,\,\sin \beta ,\,\,\sin \gamma \).
Kẻ \(AH \bot \left( P \right)\,\,\left( {H \in \left( P \right)} \right)\) ta có \(\angle \left( {AB;\left( P \right)} \right) = \angle ABH = \beta ;\,\,\angle \left( {AC;\left( P \right)} \right) = \angle ACH = \gamma \).
Kẻ \(HI \bot BC\,\,\,\left( {I \in BC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HI\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHI} \right) \Rightarrow BC \bot AI\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = BC\\AI \subset \left( {ABC} \right);\,\,AI \bot BC\\HI \subset \left( P \right);\,\,HI \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( P \right)} \right) = \angle \left( {AI;HI} \right) = \angle AIH = \alpha \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Rightarrow \dfrac{{A{H^2}}}{{A{I^2}}} = \dfrac{{A{H^2}}}{{A{B^2}}} + \dfrac{{A{H^2}}}{{A{C^2}}}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma \\ \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}\alpha = {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = 1\end{array}\)
Vậy \(P = 1\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
