Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc

Câu hỏi số 470088:

Thông hiểu

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của \(BC\). Biết thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng \(\dfrac{{3{a^3}}}{{20}}\). Tính tang của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy.

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{5}\)

B. \(\dfrac{{6\sqrt 3 }}{5}\)

C. \(\dfrac{2}{5}\)

D. \(\dfrac{6}{5}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470088

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\). Tính \(A'H = \dfrac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\).

- Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa cạnh bên và hình chiếu của cạnh bên trên mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính tang của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\).

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) và \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} \Rightarrow A'H = \dfrac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^3}}}{{20}}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}\).

Vì \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AH\) là hình chiếu vuông góc của \(AA'\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {AA';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';AH} \right) = \angle A'AH\).

Xét tam giác vuông \(AA'H\) ta có \(\tan \angle A'AH = \dfrac{{A'H}}{{AH}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}:\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{2}{5}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.