Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân, \(AB = BC = 2a\). Tam giác \(SAC\) cân tại

Câu hỏi số 472012:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân, \(AB = BC = 2a\). Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\), \(SA = \sqrt 3 a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) bằng:

A. \({60^0}\)

B. \({30^0}\)

C. \({45^0}\)

D. \({90^0}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472012

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\), chứng minh \(SH \bot \left( {SAC} \right),\,\,BH \bot \left( {SAC} \right)\).

- Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(BI \bot SA\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HI} \right)\).

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(SH \bot AC\) (do tam giác \(SAC\) cân tại \(S\)).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\\AH \subset \left( {SAC} \right),\,\,AH \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {ABC} \right)\). Tương tự \(BH \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(BI \bot SA\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BI\\SA \bot BH\,\,\left( {do\,\,BH \bot \left( {SAC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BHI} \right) \Rightarrow SA \bot HI\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\\BI \subset \left( {SAB} \right),\,\,BI \bot SA\\HI \subset \left( {SAC} \right),\,\,HI \bot SA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BI;HI} \right)\).

Vì \(BH \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BH \bot HI\) \( \Rightarrow \Delta BHI\) vuông tại \(I\).

Do đó \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HI} \right) = \angle BHI\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = 2a\) nên \(BH = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \), \(AC = AB\sqrt 2 = 2\sqrt 2 a\)

Ta có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).

\( \Rightarrow HI = \dfrac{{SH.AH}}{{SA}} = \dfrac{{a.\sqrt 2 a}}{{\sqrt 3 a}} = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}\).

Xét tam giác vuông \(BHI\) có \(\tan \angle BIH = \dfrac{{BH}}{{IH}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle BIH = {60^0}\).

Vậy \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = {60^0}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.