Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{1}

Câu hỏi số 472011:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{z}{3}\) và \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\), trục \(Oy\) và tia \(Oz\) lần lượt tại \(M,\,\,N,\,\,P\). Biết rằng thể tích khối tứ diện \(OMNP\) bằng 6. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

A. \(B\left( {1; - 1;1} \right)\)

B. \(A\left( {1; - 1; - 3} \right)\)

C. \(C\left( {1; - 1;2} \right)\)

D. \(D\left( {1; - 1; - 2} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472011

Phương pháp giải

- Vì \(\left( \alpha \right) \bot \Delta \Rightarrow \left( \alpha \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {A;B;C} \right)\),. Suy ra dạng phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,Ax + By + Cz + d = 0\) .

- Tìm giao điểm của \(\Delta \) với trục \(Ox\), trục \(Oy\) và tia \(Oz\).

- Tính độ dài \(OM,\,\,ON,\,\,OP\) theo \(d\).

- Tính \({V_{OMNP}} = \dfrac{1}{6}OM.ON.OP\), giải phương trình tìm \(d\).

- Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và tìm điểm thuộc \(\left( \alpha \right)\).

Giải chi tiết

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{z}{3}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Vì \(\left( \alpha \right) \bot \Delta \Rightarrow \left( \alpha \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 2;3} \right)\), khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng:

\(\left( \alpha \right):\,\,\,x - 2y + 3z + d = 0\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M = \Delta \cap Ox\\N = \Delta \cap Oy\\P = \Delta \cap tia\,\,Oz\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - d;0;0} \right)\\N\left( {0;\dfrac{d}{2};0} \right)\\P\left( {0;0; - \dfrac{d}{3}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = \left| d \right|\\ON = \dfrac{{\left| d \right|}}{2}\\OP = \dfrac{{\left| d \right|}}{3}\\ - \dfrac{d}{3} > 0 \Leftrightarrow d < 0\end{array} \right.\).

Vì \(OMNP\) là tứ diện vuông tại \(O\) nên

\({V_{OMNP}} = \dfrac{1}{6}OM.ON.OP = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{6}{\left| d \right|^3} = \dfrac{1}{{36}}{\left| d \right|^3} = 6\)\( \Leftrightarrow {\left| d \right|^3} = 216 \Leftrightarrow \left| d \right| = 6 \Leftrightarrow d = \pm 6\).

Mà \(d < 0 \Rightarrow d = - 6\) \( \Rightarrow \left( \alpha \right):\,\,x - 2y + 3z - 6 = 0\).

Vậy \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(B\left( {1; - 1;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.